นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 210 มกราคม - กุมภาพันธ์ 2561

16 นิตยสาร สสวท รศ.ดร.สมพร สูตินันท์โอภาส • ผู้เชี่ยวชาญ สาชาวิชาคณิตศาสตร์ สสวท. • e-mail: sompornsuti@gmail.com รอบรู้ คณิต แฟร็กทัลคืออะไร ระบบพลวัต (dynamical systems) คือระบบ ที่มีการเปลี่ยนแปลงตามเวลา เช่น ลักษณะการโคจรของ ดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ การเปลี่ยนแปลงของสภาพอากาศ การขึ้นลงของราคาหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ การเปลี่ยนแปลง บางเรื่องสามารถพยากรณ์ได้ เช่น การเกิดปรากฏการณ์ สุริยุปราคาและจันทรุปราคา ในขณะที่การเปลี่ยนแปลง บางเรื่องไม่สามารถพยากรณ์ได้ เช่น การเกิดพายุ การเกิด เหตุการณ์แผ่นดินไหว การขึ้นลงของราคาหุ้น ยกเว้นในช่วง เวลาสั้นๆ ซึ่งอาจจะพยากรณ์ได้โดยมีความคลาดเคลื่อนบ้าง เล็กน้อย เราเรียกการเปลี่ยนแปลงที่ไม่สามารถพยากรณ์ได้ว่า ความอลวน (chaos) ตามพจนานุกรม ความอลวนหมายถึง ความวุ่นวาย สับสน หรือ ยุ่งเหยิง ปั่นป่วน แต่ในทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ความอลวนหมายถึง พฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงของระบบ พลวัตที่มีความไวต่อสภาวะเริ่มต้น กล่าวคือถ้ามีการปรับ เปลี่ยนเงื่อนไขเบื้องต้นเพียงเล็กน้อย จะท� ำให้พฤติกรรม การเปลี่ยนแปลงของระบบนั้นแตกต่ างไปอย่ างสิ้นเชิง จึงไม่สามารถพยากรณ์ได้ในระยะยาว จนดูเสมือนว่าการ เปลี่ยนแปลงนั้นเป็นแบบสุ่มหรือไร้ระเบียบ (Random/ Stochastic) แต่ในความเป็นจริง นี่เป็นระบบที่เป็นระเบียบ (Deterministic) นักอุตุนิยมวิทยามักเรียกปรากฏการณ์ ในลักษณะนี้ว่า ผลกระทบจากผีเสื้อ (Butterfly Effect) หลังจาก ค.ศ.1972 ที่ Dr. Edward Lorenz ได้ไปบรรยายเรื่อง “จริงหรือ ที่การกระพือปีกของผีเสื้อในบราซิล สามารถท� ำให้เกิดพายุ ทอร์นาโดได้ในรัฐเทกซัส (Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?)” ที่สมาคม Advancement of Science ของอเมริกาที่ Washington, D.C. ดร. ลอว์เรนซ์ ซึ่งเป็นนักอุตุนิยมวิทยาจาก Massachusetts Institute of Technology (MIT) ได้พบปรากฏการณ์นี้ โดยบังเอิญ ใน ค.ศ. 1961 ในขณะที่เขาก� ำลังวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงของ สภาพอากาศด้วยคอมพิวเตอร์ ครั้งหนึ่ง เขาได้ป้อนข้อมูล ตัวเลข 0.506 แทนที่จะเป็น 0.506127 เหมือนดังการวิเคราะห์ ครั้งก่อน เขาพบว่าผลลัพธ์ที่ได้แตกต่างจากครั้งก่อนอย่างสิ้นเชิง นักฟิสิกส์รางวัลโนเบลปี ค.ศ. 1933 ชื่อ Paul A.M. Dirac ได้กล่าวในท� ำนองคล้ายกันนี้ว่า "Pick a flower on earth and you move the farthest star." หรืออาจกล่าวเป็นไทยว่า “เด็ดดอกไม้บนโลกสะเทือนถึงดวงดาว” และเมื่อเร็วๆ นี้ (วันที่ 14 ตุลาคม พ.ศ.2560) ได้มีปรากฏการณ์ที่คล้ายกันนี้ ในกรุงเทพมหานคร ที่เกิดน�้ ำท่วมทั่วกรุงอันเนื่องมาจาก งูเขียวเลื้อยไปพันสายไฟแรงสูง ท� ำให้ไฟช็อตที่สถานีสูบน�้ ำ จนท� ำให้เกิดค� ำพูดพาดหัวข่าวว่า “กรุงเทพฯ จมน�้ ำ เพราะงูเขียว ตัวเดียว” แฟร็กทัล (Fractal) มาจากค� ำ “Fractus” ซึ่งเป็น ค� ำในภาษาละติน แปลว่า “แตกหรือเศษส่วน” แฟร็กทัลเป็น รูปเรขาคณิตที่แตกต่างจากเส้นตรง รูปหลายเหลี่ยม และ วงกลม ซึ่งเป็นรูปเรขาคณิตแบบยุคลิด (Euclid) แฟร็กทัลมี สมบัติที่ส� ำคัญซึ่งเรียกว่า มีรูปแบบเหมือนตัวเอง (Self-similar Pattern) ในระดับที่ต่างกัน ซึ่งหมายความว่า ถ้าเราดึงภาพ เข้ามาดูที่ระยะใกล้จะเห็นส่วนย่อยของภาพมีรูปร่างเหมือน ส่วนใหญ่ ใบเฟิร์นเป็นตัวอย่างของแฟร็กทัลที่มีสมบัติที่เห็น ได้ชัดเจน ถ้าขยายภาพของใบเฟิร์น จะเห็นแขนงย่อยของ ใบเฟิร์นมีรูปร่างเหมือนตัวเอง สมบัติที่ส� ำคัญของแฟร็กทัล อีกประเด็นหนึ่งคือ มีมิติที่ไม่เป็นจ� ำนวนเต็ม (Non-integer Dimension) นี่จึงเป็นที่มาของค� ำว่าแฟร็กทัล แฟร็กทัลเป็น ภาพของระบบพลวัตที่อลวน ภาพ 1 สภาพน�้ ำท่วมบางพื้นที่ของกรุงเทพมหานคร ที่มา https://www.facebook.com/Dr.Samart แฟร็กทัลกับระบบพลวัต : กรุงเทพฯ จมน�้ ำเพราะงูเขียวตัวเดียว