นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 210 มกราคม - กุมภาพันธ์ 2561

19 ปีที่ 46 ฉบับที่ 210 มกราคม - กุมภาพันธ์ 2561 แฟร็กทัลที่เกิดจากจ� ำนวนเชิงซ้อน จูเลียเซต (Julia set) เราสามารถสร้างแฟร็กทัลจากฟังก์ชันคณิตศาสตร์ง่ายๆ ได้ โดยการค� ำนวณค่าของฟังก์ชันซ�้ ำๆ กันแบบเวียนเกิด ในที่นี้จะเน้นเฉพาะแฟร็กทัลที่เกิดจากฟังก์ชันพหุนามที่ก� ำหนด โดยให้ ƒ( z ) = z 2 + c เมื่อ z และ c เป็นจ� ำนวนเชิงซ้อน โดยเริ่มจากการเลือกจ� ำนวนเชิงซ้อน z 0 หาค่าของฟังก์ชันที่ z 0 โดยแทนค่า z ด้วย z 0 จะได้ ƒ( z 0 ) ท� ำต่อไปโดยแทน z ด้วย ƒ( z 0 ) จะได้ ƒ(ƒ( z 0 )) ถ้าท� ำต่อไปอีกโดยแทน z ด้วย ƒ(ƒ( z 0 )) จะได้ ƒ(ƒ(ƒ( z 0 ))) ท� ำซ�้ ำเช่นนี้ต่อไปเรื่อยๆ จะได้ล� ำดับของจ� ำนวนเชิงซ้อน z 0 , ƒ( z 0 ), ƒ(ƒ( z 0 )), ƒ(ƒ(ƒ( z 0 ))),... ซึ่งถ้าเขียนในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิด จะได้ z n +1 = z 2 + c เมื่อ n เป็นจ� ำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ จะได้ เราเรียกล� ำดับของจ� ำนวนเชิงซ้อน z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ,... ว่า วงโคจรของ z 0 ตัวอย่าง เมื่อ c = - 0.4 + 0.6 i และ z 0 = 0.5 + i จะได้ z 1 = ( 0.5 + i ) 2 - 0.4 + 0.6 i = -1.15 + 1.6 i z 2 = ( -1.15 + 1.6 i ) 2 - 0.4 + 0.6 i = -1.6375 + 3.08 i z 3 = ( -1.6375 + 3.08 i ) 2 - 0.4 + 0.6 i = -7.205 + 10.687 i ... z 1 = ( z 0 ) 2 + c = ƒ( z 0 ) z 2 = ( z 1 ) 2 + c = ƒ(ƒ( z 0 )) z 3 = ( z 2 ) 2 + c = ƒ(ƒ(ƒ( z 0 ))) n ในล� ำดับแรกเราจะให้นิยามของฟิลด์จูเลียเซต (Filled Julia set) ซึ่งแทนด้วย K c ส่วนจูเลียเซตคือขอบ (Boundary) ของเซต K c ส� ำหรับจ� ำนวนเชิงซ้อน c แต่ละจ� ำนวนที่เป็นค่าคงตัว เลือก z 0 ในระนาบเชิงซ้อนให้เป็นจุดเริ่มต้น หาวงโคจร ของ z 0 ที่เกิดจากการใช้ฟังก์ชัน ƒ( z ) = z 2 + c ซ�้ ำๆ กัน ถ้าวงโคจรของ z 0 อยู่ใกล้กัน ไม่ลู่ออกสู่อนันต์ แล้ว z 0 เป็นสมาชิกของ K c ในกรณีนี้จะก� ำหนดสีด� ำให้แก่จุด z 0 แต่ถ้าวงโคจรของ z 0 ลู่ออกสู่อนันต์ แสดงว่า z 0 ไม่เป็นสมาชิก ของ K c ในกรณีนี้จะก� ำหนดสีขาวให้แก่จุด z 0 เพื่อความละเอียดและสวยงาม อาจก� ำหนดสีให้แตกต่างกัน ซึ่งขึ้นอยู่กับ ความเร็วที่วงโคจรนั้นลู่ออกสู่อนันต์ ค� ำถามคือ จะรู้ได้อย่างไรว่าเมื่อใดวงโคจรจะลู่ออกสู่อนันต์ มีทฤษฎีที่สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ถ้ามี j ซึ่งท� ำให้ |z j | > max { |c|, 2 } แล้วสมาชิกของวงโคจรถัดไปจาก z j จะห่างไกลจากจุดก� ำเนิดออกไปเรื่อยๆ และลู่ออกสู่อนันต์ ดังนั้น ในกรณีที่ |c| ≤ 2 เราเพียงตรวจสอบว่ามี j ที่ท� ำให้ |z j | > 2 หรือไม่ ถ้ามี j แสดงว่าวงโคจรของ z 0 ลู่ออกสู่อนันต์