นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 223 มีนาคม - เมษายน 2563

28 นิตยสาร สสวท.ิ ต รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก R ซึ่่� งมีความยาวด้านทุกด้านเป็นจำ �นวนเต็มคี่ ถูกแบ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปเล็กๆ จำ �นวนหนึ่งโดยทุกรูปมีความยาวด้านทุกด้านเป็นจำ �นวนเต็ม จงแสดงว่า มีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปเล็กอย่างน้อย หนึ่งรูป ซึ่่� งมีระยะห่างจากด้านทั้งสี่ของ R เป็นจำ �นวนคี่่�ท งหมด หรือเป็นจำ �นวนคู่่�ท งหมด หมายเหตุ: รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปเล็กทั้งหมดครอบคลุมพื้นที่ R ทั้งหมดโดยไม่มีส่วนที่้ อนทับกัน การแก้ปัญหาโจทย์ข้อนี้้ีอยู่หลากหลายวิธี และบางวิธีไม่ได้ใช้ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ชั้นสูงหรือเทคนิค ที่่�ซับ้ อนเลย ตัวอย่างแนวคิดหนึ่งในการแก้ปัญหา คือ กำ �หนดให้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก R มีด้านหนึ่งยาว a หน่วย และอีกด้านหนึ่งยาว b หน่วย โดยที่ a และ b เป็นจำ �นวนคี่ เมื่อแบ่งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก R ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่่ีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย ซึ่่� งต่อไปจะเรียกสั้นๆ ว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วย จะแบ่งได้ทั้งหมด a × b รูป จากนั้นระบายสีแต่ละช่องโดยการเริ่มต้นระบายสีช่องบน้ าย ด้วยสีเขียว และระบายสีช่องถัดมาด้วยสีเหลืองสลับกันไป เนื่องจากความยาวของด้านของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก R เป็น จำ �นวนคี่ ดังนั้น ทีุ่่มทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก R จะเป็นสีเขียวเหมือนกันทั้งสีุ่่ม ดังรูป นอกจากนั้น จะเห็นว่ายังมีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากอื่นๆ อีกหลายรูปที่่ีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วย ที่อยู่ภายในรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก R นี้ โดยรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากบางรูปก็มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยที่อยู่่�ท ีุมทั้งสี่เป็นสีเขียว บางรูปก็มีรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยที่อยู่่�ท ีุมทั้งสี่เป็นสีเหลือง บางรูปก็มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยที่อยู่่�ท ีุมทั้งสี่ มีทั้งที่เป็นสีเขียว และสีเหลือง เพื่อความเข้าใจตรงกันในที่่�น จะขอสร้างข้อตกลงเกี่ยวกับการเรียกชื่อรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเหล่านั้นดังนี้ • เรียกรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่่ีมุมทั้งสี่เป็นสีเขียว ว่า “รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมุมเขียว” ตัวอย่างเช่น