นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 239

ปีที่ 51 ฉบับที่ 239 พฤศจิกายน - ธันวาคม 2565 31 แผนภาพเวนน์ดังภาพใช้วงกลม 3 วง กับเส้นโค้งปิด 1 เส้น แผนภาพเวนน์ดังภาพใช้เส้นโค้ง ปิด 4 เส้นที่สมภาคกันแต่ไม่ใช่วงกลมแต่เป็นวงรี ภาพ 4 เราได้เห็นแผนภาพเวนน์ใน ภาพ1 ว่าบริเวณที่เกิดจากวงกลม2 วง ตัดกันทำ�ให้เกิด 2 2 = 4 บริเวณ และบริเวณที่เกิดจาก วงกลม 3 วง ใน ภาพ 2 บริเวณที่เกิดจากวงกลม 3 วง ตัดกันทำ�ให้เกิด 2 3 = 8 บริเวณ และถ้าเรานับจำ�นวนบริเวณในแผนภาพเวนน์ ที่เกิดจากการตัดกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเส้นโค้งปิด n เส้น จะได้บริเวณทั้งหมด 2 n บริเวณ ดังข้อพิสูจน์ต่อไปนี้ สมมุติให้ {C 1 , C 2 , ..., C n } เป็นเซตของเส้นโค้งปิด n เส้น และให้ x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) แทนบริเวณใดๆ ในแผนภาพเวนน์ เมื่อ x i ∈ {Y, N} โดยที่ x i = Y เมื่อ x เป็นบริเวณที่อยู่ในเส้นโค้งปิด C 1 และ x i = N เมื่อ x เป็นบริเวณที่ไม่อยู่ใน C i สำ�หรับ 1 ≤ i ≤ n จะเห็นว่าแต่ละ x i มีทางเลือกที่เป็นไปได้สองทางคือ Y หรือ N ดังนั้น จำ�นวนบริเวณ x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) มีทั้งหมด 2 n บริเวณ การคำ�นวณข้างล่างนี้แสดงให้เห็นว่าการเขียนแผนภาพเวนน์ทำ�ได้เมื่อใช้วงกลมที่สมภาคกัน 2 วง หรือ 3 วง และ ไม่สามารถเขียนแผนภาพเวนน์ได้เมื่อใช้วงกลมที่สมภาคกัน n วง เมื่อ n ≥ 4 ขั้นแรกเราจะนับจำ�นวนบริเวณที่มากที่สุดในแผนภาพเวนน์ที่เกิดจากวงกลม n วงตัดกัน เพื่อให้ได้จำ�นวนบริเวณ มากที่สุดเราจะกำ�หนดให้วงกลมสองวงใดๆต้องตัดกันที่สองจุดและไม่มีวงกลมมากกว่าสองวงใดๆตัดกันที่จุดเดียวกันเราจะนับ โดยใช้สมการเวียนเกิดดังนี้ ให้ r n แทนจำ�นวนบริเวณที่มากที่สุดที่เกิดจากวงกลม n วง ตัดกัน ดังนั้น r n-1 คือจำ�นวนบริเวณที่มากที่สุดที่เกิดจาก วงกลม n - 1 วง ตัดกัน สมมุติว่ามีแผนภาพเวนน์ที่เกิดจากวงกลม n - 1 วง ตัดกันอยู่ก่อนแล้ว และเราจะเพิ่มวงกลมวงที่ n เข้าไปในแผนภาพเวนน์ที่มีวงกลม n - 1 วงเหล่านั้น เมื่อวงกลมวงที่ n ตัดกับวงกลมวงใด ใน n - 1 วง จะทำ�ให้มีบริเวณเพิ่มขึ้น 2 บริเวณ เพราะเมื่อวงกลมวงที่ n ตัดกับวงกลม C i ที่เป็นวงใดวงหนึ่งใน n - 1 วง ส่วนของเส้นโค้งของวงกลมวงที่ n ที่อยู่ภายใน วงกลม C i จะแบ่ง C i ออกเป็นสองบริเวณ นั่นคือทำ�ให้มีบริเวณเพิ่มขึ้น 1 บริเวณ และส่วนโค้งอีกส่วนของวงที่ n ที่อยู่ภายนอก วงกลม C i จะทำ�ให้บริเวณที่อยู่ภายนอกเพิ่มขึ้นอีก 1 บริเวณ ดังนั้น เมื่อเพิ่มวงกลมวงที่ n จะทำ�ให้มีบริเวณเพิ่มขึ้นอีก 2 บริเวณ แสดงว่าเมื่อเพิ่มวงกลมวงที่ n ไปตัดกับวงกลม n - 1 วง ที่มีอยู่ก่อนแล้วจะทำ�ให้มีบริเวณเพิ่มขึ้นทั้งหมด 2( n - 1) บริเวณ นั่นคือ r n = r n-1 + 2( n - 1) ซึ่งเป็นจริงเมื่อ n ≥ 2 และ r 1 = 2 ใช้การแทนค่าไปเรื่อยๆ จะได้ r n ในรูปของตัวแปร n เพียงตัวเดียว ดังนี้