นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 244

34 นิตยสาร สสวท. แ บบรูปของแวนฮีลีเป็นผลมาจากวิทยานิพนธ์ในระดับปริญญาเอกที่เสนอต่อมหาวิทยาลัยยูเทรค (Utrecht) ประเทศเนเธอร์แลนด์ ในปี ค.ศ. 1957 โดยที่ Pierre ได้วิจัยทางด้านทฤษฎีของพัฒนาการทางความคิด ส่วน Dina ได้ศึกษาทางด้านวิธีสอน เพื่อยกระดับความคิดจากระดับหนึ่งไปอีกระดับหนึ่ง หลังจาการเสนอวิทยานิพนธ์ได้ไม่นาน Dina ได้เสียชีวิต Pierre จึงได้พัฒนาทฤษฎีต่อไป ประเทศสหภาพสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตสนใจงานวิจัยนี้ จึงวิจัยซ้ำ�เพื่อทดสอบความถูกต้อง (Validate) และ ศึกษารายละเอียดเพิ่มเติม โดยพิกาโลและสโตลยา (Pyshkalo and Stolyar) จากสถาบันด้านการสอนของโซเวียต (Soviet Academy of Pedagogical Science) เป็นผู้วิจัย และประเทศสหภาพสาธารณรัฐสังคมนิยมโซเวียตได้ปรับปรุงหลักสูตร เรขาคณิตอย่างได้ผลดีในช่วงปี ค.ศ. 1960 - 1969 งานของแวนฮีลีได้รับความสนใจจากนักคณิตศาสตรศึกษาในสหรัฐอเมริกา เนื่องจากบทความของ Izaak Wirszup (1976) ชื่อ “Breakthoughs in Psychology of Learning and Teaching Geometry” และจากผลงานชิ้นประวัติศาสตร์ของอาจารย์ของแวนฮีลีจากมหาวิทยาลัยยูเทรค คือ ศาสตราจารย์ Hans Freudenthal ในหนังสือชื่อ Mathematics as an Educational Task จากนั้นจึงมีการศึกษาวิจัยแบบรูปนี้อย่างจริงจัง มีงานวิจัยออกมา มากมายและทฤษฎีมีความชัดเจนมากขึ้น แบบรูปของพัฒนาการทางความคิดในวิชาเรขาคณิตประกอบด้วย 1. แบบรูป (The Model) 2. สมบัติของแบบรูป (Properties of the Model) 3. ขั้นตอนต่างๆ ของการเรียนรู้ (Phases of Learning) แบบรูป (The Model) แบบรูปของพัฒนาการทางความคิดในวิชาเรขาคณิตของแวนฮีลีประกอบด้วยระดับความคิดทางเรขาคณิตรวม 5 ระดับ จากระดับ 0 ถึงระดับ 4 ดังนี้ ระดับ 0 การเห็นภาพ (Visualization) ในระดับนี้ผู้เรียนรับรู้ว่าอวกาศ (Space) เป็นสิ่งที่อยู่รอบตัว มโนทัศน์ทางเรขาคณิตต่างๆ จะรับรู้ในลักษณะภาพรวม มากกว่าแยกส่วนหรือลักษณะ เช่น รูปทางเรขาคณิตจะรับรู้ทั้งรูป ไม่แยกเป็นส่วนๆ เป็น ด้าน มุม หรือสมบัติของรูป ผู้ที่มี ความคิดในระดับนี้สามารถเรียนคำ�ศัพท์ทางเรขาคณิต บอกชื่อรูปได้ เมื่อให้ดูรูปจะสร้างรูปบนกระดานตะปู หรือวาดรูปคร่าวๆ ได้ เมื่อให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังรูปข้างล่าง สามารถบอกได้ว่ารูปใดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เพราะมีลักษณะคล้ายรูปที่เคยเห็นมาก่อน แต่ไม่สามารถบอกได้ว่ามีมุมฉากสี่มุม หรือด้านตรงข้ามขนานกัน ระดับ 1 การวิเคราะห์ (Analysis) ในระดับนี้ผู้เรียนเริ่มมีการวิเคราะห์มโนทัศน์ทางเรขาคณิต เช่น จากการสังเกต จากการทดลอง ผู้เรียนเริ่มสนใจเกี่ยวกับ ลักษณะของรูปสมบัติต่างๆ ที่ค่อยๆ ก่อตัว ทำ�ให้สามารถแยกรูปชนิดต่างๆได้ จะมองรูปทางเรขาคณิตแบบแยกส่วนได้ จะบอกได้ว่าเป็นรูปใดโดยดูจากส่วนต่างๆ ของรูป เช่น เมื่อให้ดูรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังภาพ สามารถระบายสีมุมที่เท่ากันได้ บอกได้ว่ามุมตรงข้ามเท่ากัน สามารถบอกลักษณะทั่วไปของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ แต่ยังไม่สามารถอธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง สมบัติได้ ยังไม่เห็นความสัมพันธ์ระหว่างรูปหนึ่งกับอีกรูปหนึ่งและยังไม่เข้าใจบทนิยาม ระดับ 2 การอนุมานอย่างไม่เป็นทางการ (Informal Deduction) ในระดับนี้ผู้เรียนสามารถสร้างความสัมพันธ์ระหว่างสมบัติของรูปได้ทั้งภายในรูป (เช่น ในรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้าม ขนานกัน 2 คู่ มุมตรงข้ามจะเท่ากัน) และระหว่างรูป (เช่น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมีสมบัติต่างๆ ของ