นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 244

ปีที่ 51 ฉบับที่ 244 กันยายน - ตุลาคม 2566 35 สี่เหลี่ยมมุมฉากครบ) ดังนั้น นักเรียนสามารถสรุปสมบัติต่างๆ ของรูปได้ และแยกรูปเป็นกลุ่มๆ ได้ตามสมบัติ สามารถเข้าใจ สิ่งที่เรียกว่า Class Inclusion ได้ เช่น สามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูปเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สามารถเข้าใจนิยามได้เป็นอย่างดี สามารถติดตามการให้เหตุผลอย่างไม่เป็นทางการ (Informal Argument) ได้ และสามารถให้เหตุผลอย่างไม่เป็นทางการได้ อย่างไรก็ตาม ผู้เรียนในระดับนี้ยังไม่เข้าใจการอนุมาน (Deduction) โดยรวมได้ทั้งหมด ไม่เข้าใจบทบาทของสัจพจน์ ไม่เข้าใจว่า การให้เหตุผลอาจสับเปลี่ยนแนวทางได้ และไม่เข้าใจการพิสูจน์ที่เริ่มต้นจากสิ่งที่กำ�หนดให้ที่แตกต่างออกไปหรือไม่คุ้นเคย ระดับ 3 การอนุมาน (Deduction) ในระดับนี้ผู้เรียนเข้าใจบทบาทของการอนุมานว่าเป็นหนทางในการสร้างทฤษฎีต่างๆ ทางเรขาคณิตตามกรอบของ ระบบสัจพจน์ ผู้เรียนเห็นความสัมพันธ์ระหว่าง อนิยาม นิยาม สัจพจน์ ทฤษฎี และการพิสูจน์ ผู้เรียนไม่เพียงแต่จดจำ�การพิสูจน์ แต่ยังพิสูจน์เป็น มองเห็นความเป็นไปได้ที่จะหาวิธีพิสูจน์มากกว่า 1 วิธี เข้าใจเงื่อนไขที่จำ�เป็นและเพียงพอ (Necessary and Sufficient Condition) เข้าใจความแตกต่างระหว่างทฤษฎีบทและบทกลับ ระดับ 4 ความชัดแจ้ง (Rigor) ในระดับนี้ผู้เรียนสามารถเข้าใจและสามารถเปรียบเทียบระบบสัจพจน์ที่แตกต่างกันได้ เข้าใจ Non - Euclidean Geometry สามารถมองเรขาคณิตในลักษณะที่เป็นนามธรรมได้ ระดับที่ 4 นี้ เป็นระดับที่ได้รับการพัฒนาจากแวนฮีลีน้อยที่สุด จากการสนทนาเป็นส่วนตัวกับ Alan Hoffer เมื่อ 25 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1985 P.M. Van Hiele กล่าวว่าเขาสนใจในระดับ 0 ถึงระดับ 3 เพราะเรขาคณิตในโรงเรียนจะสอนถึงระดับที่ 3 เท่านั้น สมบัติของแบบรูป (Properties of the Model) นอกเหนือจากการค้นพบลักษณะพฤติกรรมในแต่ละระดับของแบบรูปแล้ว แวนฮีลียังได้พบสมบัติบางประการของ แบบรูปอีกดังนี้ 1. การมีลำ�ดับ (Sequential) ผู้เรียนจะพัฒนาไปตามระดับความคิด ผู้ที่มีระดับความคิดที่ n จะต้องมีระดับความคิด ที่ n - 1 มาก่อน ไม่ข้ามระดับ 2. ความก้าวหน้า (Advancement) การพัฒนาจากระดับความคิดหนึ่งไปสู่ระดับความคิดหนึ่งขึ้นอยู่กับเนื้อหาและ วิธีการสอนมากกว่าอายุ ไม่มีวิธีการสอนใดที่ทำ�ให้นักเรียนข้ามระดับได้ 3. สิ่งที่เกิดขึ้นภายในและสิ่งที่เกิดขึ้นภายนอก (Intrinsic and Extrinsic) สิ่งซึ่งไม่ชัดแจ้งในระดับหนึ่งจะชัดแจ้งในระดับ ต่อไป เช่น ในระดับ 0 ผู้เรียนรับรู้โดยพิจารณาจากรูปร่าง การกำ�หนดรูปจากสมบัติยังไม่ชัดเจนจนกว่าจะมีระดับความคิด อยู่ในระดับ 1 ซึ่งจะมีการวิเคราะห์รูป องค์ประกอบ และสมบัติ 4. การมีภาษาประจำ�ระดับ (Linguistics) แต่ละระดับมีภาษาเป็นของตนเองที่เชื่อมโยงความสัมพันธ์สิ่งต่างๆ เข้าด้วยกัน ความสัมพันธ์ที่ถือว่าถูกต้องที่ระดับหนึ่ง อาจถูกขยายที่อีกระดับหนึ่ง เช่น รูปหนึ่งๆ อาจมีชื่อเรียกได้มากกว่า 1 ชื่อ (รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอาจเรียกได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก) ผู้ที่อยู่ที่ระดับ 1 จะไม่เข้าใจลักษณะที่เรียกว่า Class Inclusion 5. การไม่เข้ากัน (Mismatch) ผู้เรียนที่มีระดับความคิดที่ระดับใดระดับหนึ่งได้รับการสอนในระดับความคิดที่สูงกว่า ผู้เรียนจะไม่เข้าใจ ไม่เกิดการเรียนรู้ที่ถูกต้อง และไม่สามารถติดตามกระบวนการคิดที่สอนอยู่ได้ ขั้นตอนของการเรียนรู้ (Phases of Learning) งานวิจัยของแวนฮีลีระบุว่าการยกระดับความคิดทางเรขาคณิตจากระดับหนึ่งไปสู่อีกระดับหนึ่งขึ้นอยู่กับการสอน มากกว่าอายุ ดังนั้น วิธีการสอนและการวางลำ�ดับการสอน เนื้อหา วัสดุอุปกรณ์ที่ใช้จึงมีความสำ�คัญ เพื่อตอบคำ�ถามเกี่ยวกับ การสอน เพื่อยกระดับความคิด ไดนาจึงได้ทำ�การวิจัยเพื่อหาวิธีการสอนที่จะยกระดับความคิดจากระดับ 1 สู่ระดับ 2และได้ สรุปเป็น 5 ขั้นตอน (Phase) ในที่นี้จะใช้กิจกรรมเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นตัวอย่าง Phase 1 (Inquiry/Information) ขั้นนี้ผู้สอนและนักเรียนสนทนาและทำ�กิจกรรมร่วมกันเกี่ยวกับสิ่งที่จะเรียน ระดับนี้มีการสังเกต ทบทวนมโนทัศน์ที่เกี่ยวข้อง