นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 245

42 นิตยสาร สสวท. ให้มีค่าความจริง (Truth Value) คือ จริง (True) หรือ เท็จ (False) เพียง 2 ค่าเท่านั้น ปัจจุบันมีการพัฒนาไปให้มีค่ามากกว่า 2 ค่า เช่น จริง จริงบางส่วน ไม่แน่ใจ เท็จ (Bennett. D.J., 2004) การกำ �หนด ให้ประพจน์มีค่าหลากหลายค่านั้นทำ �ให้ประยุกต์ได้ใกล้เคียงกับชีวิตจริง มากขึ้น มีการประยุกต์ได้กว้างมากขึ้นในหลายสาขา เช่น Fuzzy Logic หรือ Machine Learning เราสร้างโปรแกรมให้หุ่นยนต์มีการตัดสินใจ เองได้ ดังในกรณีที่ทีมงานของ IBM สร้างและพัฒนาโปรแกรมการเล่น หมากรุกจนสามารถเล่นชนะนักหมากรุกชั้นนำ �ของโลกได้ หรือกรณีของ การเล่นสนุกเกอร์สามารถพัฒนา Robot ให้เล่นสนุกเกอร์ได้ทัดเทียมกับ นักสนุกเกอร์มืออาชีพได้ ประเด็นนี้คณิตศาสตร์เป็นเพียงยาดำ �ที่แทรกอยู่ เท่านั้น ความสำ �เร็จมาจาก STEM (Science, Technology, Engineering และ Mathematics) ซึ่งปัจจุบันมีความสำ �คัญต่ออุตสาหกรรมการผลิต ทุกชนิด การเกษตร การแพทย์ ด้านอวกาศ และการทำ �สงคราม 2. ความหมายของตัวเชื่อมประพจน์ (Connective) “หรือ” กับ ตัวเชื่อม “ถ้า....แล้ว...” 2.1 ตัวเชื่อม “หรือ” ˅ ในทางคณิตศาสตร์ใช้ตัวเชื่อมนี้ใน ความหมายอย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง (either one or both) เช่นใน ทฤษฎีบทของระบบจำ �นวนจริง “ให้ a และ b เป็นจำ �นวนจริง ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ” การกำ �หนดความหมายของ “หรือ” เช่นนี้มีผลต่อการสร้างตาราง ค่าความจริงของตัวเชื่อม “ ˅ ” 2.2 ตัวเชื่อม ถ้า....แล้ว..... (→) มีนักเรียนจำ �นวนหนึ่งมีความเข้าใจ คลาดเคลื่อน (Misconception) ว่า ถ้า p → q เป็นจริงแล้ว q → p จะเป็นจริงด้วย ผู้สอนไม่ควรปล่อยทิ้งไว้ ควรรีบแก้โดยเร็วเมื่อเริ่มต้นแนะนำ � ตัวเชื่อมนี้ การยกตัวอย่างที่เหมาะสมเข้าเรื่องเข้าราวจะทำ �ให้นักเรียน เข้าใจได้ ข้อเท็จจริง : ถ้า p → q จริงแล้ว q → p อาจจะเป็นจริงใน บางกรณีหรือเป็นเท็จในบางกรณี โดยทั่วไปไม่อาจสรุปว่า q→p เป็นจริง ตามไปด้วยได้ ตัวอย่างในชีวิตประจำ �วัน “ถ้าเย็นจิตต์เป็นไข้ แล้วเย็นจิตต์ปวดศีรษะ” เป็นจริง จะสรุป ได้หรือไม่ว่า “ถ้าเย็นจิตต์ปวดศีรษะแล้วเย็นจิตต์เป็นไข้” คำ �ตอบคือ 1. สรุปได้ถ้าสาเหตุที่ทำ �ให้เย็นจิตต์ปวดศีรษะนั้นมีเพียง สาเหตุเดียวคือ “เป็นไข้” 2. สรุปไม่ได้ ถ้าสาเหตุที่ทำ �ให้เย็นจิตต์ปวดศีรษะนั้นมาจาก หลายสาเหตุ เช่น เป็นไข้ บาดเจ็บศีรษะจากการกระแทก ไมเกรน หรือ การอักเสบเฉียบพลัน ตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ 1. กรณี ถ้า p → q เป็นจริงแล้ว q → p เป็นจริง ถ้า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แล้ว ∆ABC เป็นรูป สามเหลี่ยมมุมเท่า ( p → q เป็นจริง) ถ้า ∆ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมเท่า แล้ว ∆ABC เป็นรูป สามเหลี่ยมด้านเท่า ( q → p เป็นจริง) 2. กรณี ถ้า p → q เป็นจริงแล้ว q → p เป็นเท็จ ถ้า □ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้ว □ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม มุมฉาก ( p → q เป็นจริง) ถ้า □ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก แล้ว □ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัส ( q → p เป็นเท็จ) 3. นักเรียนควรรู้เหตุผลว่า ทำ �ไมตารางค่าความจริง (Truth Table) จึงกำ �หนดไว้เช่นนั้น พิจารณาตารางค่าความจริงของ ถ้า ... แล้ว ..... p → q p T T F F T F T F T F T T q มีนักเรียนหลายคนไม่เข้าใจ หรือ อธิบายไม่ได้ว่าทำ �ไมประพจน์ เชิงประกอบ (Compound Statement) เมื่อ p → q เป็นเท็จ p และ q เป็นเท็จ จึงเป็น Compound Statement ที่เป็นจริง (บรรทัดที่ 4 ของ ตาราง) เข้าทำ �นอง ถ้า เท็จ แล้ว เท็จ จะเป็นข้อความที่เป็นจริง หรือ จำ �นวนลบคูณกับจำ �นวนลบแล้วได้จำ �นวนบวก ซึ่งฟังดูแล้วอาจเป็นข้อสรุป เพื่อให้จำ �ได้ง่าย แต่นักเรียนควรรู้เหตุผลด้วย สำ �หรับเรื่องตารางค่าความจริงนี้ควรมีการอภิปรายร่วมกัน และ ใช้ตัวอย่างที่เหมาะสมเพื่อให้เข้าใจว่าทำ �ไมนักตรรกศาสตร์จึงกำ �หนด แต่ละตารางไว้เช่นนั้น ในตำ �ราตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ ตารางค่าความจริงกำ �หนดไว้เป็น บทนิยาม ซึ่งบทนิยามก็คือข้อตกลง แต่คำ �ถามเพื่อให้เกิดความเข้าใจก็คือ “ทำ �ไมตกลงกันเช่นนั้น” ผู้เขียนได้สำ �รวจตำ �ราตรรกศาสตร์หลายเล่ม พบดังนี้ 1. กำ �หนดตารางค่าความจริงเป็นบทนิยาม แต่ไม่อธิบายว่าทำ �ไม กำ �หนดเช่นนั้น 2. กำ �หนดตารางค่าความจริงเป็นบทนิยาม และพยายามอธิบาย แต่ไม่ชัดเจน 3. กำ �หนดตารางค่าความจริงเป็นบทนิยาม และอธิบายได้ชัดเจน มีตัวอย่างในข้อค้นพบที่ 3 จากหนังสือ Logic and Proof เขียนโดย Marvin L. Bittinger จาก Indiana University (Bittinger, M.L., 1972) ซึ่งผู้เขียนอธิบายไว้ชัดเจน การใช้ตัวอย่างเพื่ออธิบายการสร้างตาราง p → q ผู้เขียนใช้ ตัวอย่างดังนี้ สมมุติว่าสมศรีพูดกับเพื่อนๆ ซึ่งจะไปหาสมศรีในวันพรุ่งนี้ว่า “ถ้าฝนตก (p) แล้วสมศรีอยู่บ้าน (q) ” จะมีกรณีพิจารณาค่าความจริงของ p → q สี่กรณีคือ