นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 245

44 นิตยสาร สสวท. 4.1 รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันจะเป็นรูปแบบที่มีความหมาย เดียวกัน แต่เขียนคนละแบบ ใช้แทนกันได้ ขอยกตัวอย่างในกรณีของ p ˄ (q ˅ r) ≡ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r) ดังนี้ ในการรับสมัครคนเข้าทำ �งาน มีข้อกำ �หนดว่าผู้สมัครจะต้องนำ � สิ่งต่อไปนี้มาแสดง คือ นำ �บัตรประจำ �ตัวประชาชนมาแสดง (p) และนำ � ใบปริญญาบัตร (q) หรือใบแสดงผลการเรียนมาแสดง (r) ซึ่งเขียนในรูปแบบ ประพจน์ได้ดังนี้ p˄ (q˅ r) โดยมีใจความเดียวกับรูปแบบประพจน์ (p˄ q) ˅ (p ˄ r) เมื่อรูปแบบของประพจน์มีใจความเดียวกันก็ย่อมสามารถใช้แทน กันได้ ดังนั้น p ˄ (q ˅ r) แทนได้ด้วย (p ˄ q) ˅ (p ˅ r) โดยกฎ Distributive Law และ p → q แทนได้ด้วย ~q → ~p โดยกฎ Contrapositive 4.2 ถ้า P, Q และ R เป็นรูปแบบของประพจน์แล้วสามารถพิสูจน์ โดยใช้บทนิยามของการสมมูลของประพจน์ได้ว่า 1. P ≡ P (Reflexive) 2. ถ้า P ≡ Q แล้ว Q ≡ P (symmetric) 3. ถ้า P ≡ Q และ Q ≡ R แล้ว P ≡ R (Transitive) 4. P ≡ Q ก็ต่อเมื่อ (P→ Q) ˄ (Q → P) สมบัติข้อที่ 4 นี้ เป็นสมบัติที่นักคณิตศาสตร์ได้นำ �ไปใช้ในเรื่อง ที่โด่งดังในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์มาแล้ว ดังในกรณี แทนสัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิดด้วย Playfair’s Axiom Playfair’s Axiom : กำ �หนดจุดๆ หนึ่งที่ไม่อยู่บนเส้นตรงที่กำ �หนดให้จะมี เส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำ �หนดให้ และขนานกับเส้นที่กำ �หนดให้ เพียงเส้นเดียวเท่านั้น P 5 : ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงสองเส้นโดยทำ �ให้ขนาดของมุมภายใน บนข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันน้อยกว่าสองมุมฉากแล้ว เส้นตรงทั้งสองนั้น ถ้าต่อออกไปอย่างไม่สิ้นสุดจะตัดกันทางด้าน ที่มีผลรวมของขนาดของมุมภายในที่น้อยกว่าสองมุมฉากนั้น นักคณิตศาสตร์สงสัยกันมานานหลายศตวรรษว่า สัจพจน์ ข้อที่ 5 ของยุคลิด (P 5 ) น่าจะเป็นทฤษฎีบทมากกว่าจะเป็นสัจพจน์ เพราะ P 5 กล่าวในรูป ถ้า......แล้ว..... ซึ่งเป็นรูปแบบของทฤษฎีบท นักคณิตศาสตร์ จึงพยายามพิสูจน์ให้ได้ว่า P 5 นี้เป็นทฤษฎีบท โดยได้พยายามมาหลายวิธี ก็ไม่ประสบความสำ �เร็จ จึงหันมาลองใช้วิธีพิสูจน์ให้ได้ว่าข้อความที่สมมูล กับ P 5 เป็นจริง แล้วจึงสรุปว่า P 5 เป็นจริง ข้อความที่นักคณิตศาสตร์นำ �มาใช้กันมากในกรณีนี้คือ สัจพจน์ ของเพลย์แฟร์ (Playfair’s Axiom) หรือ PA โดยทำ �ดังนี้ 1. ยอมรับว่า P 5 เป็นจริง แล้วพิสูจน์ให้ได้ว่า PA เป็นจริง ( P 5 → PA) และ 2. ยอมรับว่า PA เป็นจริง แล้วพิสูจน์ให้ได้ว่า P 5 เป็นจริง ( PA→ P 5 ) จากข้อ 1 และข้อ 2 สรุปได้ว่า P 5 ≡ PA ดังนั้น สามารถแทน P 5 ด้วย PA แม้ว่านักคณิตศาสตร์พยายามใช้ PA มาแทน P 5 แล้วก็ตาม นักคณิตศาสตร์ก็ไม่ประสบความสำ �เร็จในการพิสูจน์ว่า PA เป็นจริงอยู่ดี ต่อมานักคณิตศาสตร์จึงทราบว่าทำ �อย่างไรก็พิสูจน์ P 5 ไม่ได้ เพราะ P 5 เป็นอิสระ (Independent) จากสัจพจน์ข้ออื่นๆ 4.3 รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันมีประโยชน์ในการพิสูจน์ เช่น ในการพิสูจน์ p → q ทำ �ได้ยากหรือเป็นไปไม่ได้เลย จึงหันมาพิสูจน์ว่า ~q → ~p เป็นจริง แล้วจึงสรุปว่า p → q เป็นจริง เช่นในการพิสูจน์ ข้อความ “ให้ a เป็นจำ �นวนเต็ม จงพิสูจน์ว่า ถ้า a 2 เป็นจำ �นวนคู่ แล้ว a เป็นจำ �นวนคู่” จะเห็นว่าข้อความนี้พิสูจน์ได้ยาก (โดยการพิสูจน์ทางอ้อม) เราจึง พิสูจน์ Contrapositive ของข้อความนี้แทน ซึ่งก็คือ “ให้ a เป็นจำ �นวนเต็ม ถ้า a เป็นจำ �นวนคี่แล้ว a 2 เป็นจำ �นวนคี่” ซึ่งพิสูจน์ได้ง่ายกว่า 5. สัจนิรันดร์ (Tautology) เป็นแบบร่าง (Template) ของการ กล่าวข้อความที่เป็นจริง และทำ �ให้ได้รูปแบบการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล จากบทนิยามของสัจนิรันดร์ทำ �ให้ได้รูปแบบของประพจน์ที่เป็น สัจนิรันดร์ และนำ �ไปใช้อ้างอิงในการให้เหตุผลได้ดังนี้