นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 246

ปีที่ 52 ฉบับที่ 246 มกราคม - กุมภาพันธ์ 2567 31 ปัญหาของการแบ่งเงินเดิมพันเป็นดังนี้ เกมหนึ่งมีผู้เล่นสองคนคือ A และ B ทั้งคู่มีความสามารถ ในการเล่นเกมนี้พอๆ กัน เกมนี้แต่ละเกมไม่มีการเสมอต้องเล่นกัน จนรู้แพ้รู้ชนะ เงินเดิมพันเป็นเงินจำ �นวนหนึ่ง หลังจากเล่นเกม ไปได้ระยะหนึ่งเกมต้องหยุดการแข่งขันเล่นต่อไปไม่ได้ โดยที่ A ต้องการชนะอีกสองเกมจึงจะชนะการแข่งขัน ส่วน B ต้องการชนะ อีกสามเกมจึงจะชนะการแข่งขัน คำ �ถามก็คือเมื่อเหตุการณ์ เป็นเช่นนี้จะแบ่งเงินเดิมพันกันอย่างไรดีจึงจะยุติธรรม วิธีการที่แฟร์มาและปาสกาลเสนอจนได้คำ �ตอบที่ นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่ายุติธรรมนั้นได้ถูกพัฒนาต่อไปจน Eves, Howard. (1983). Great Moments in Mathematics (After 1650) . The Dolciani Mathematical Expositions: Mathematical Association of America. บรรณานุกรม กลายเป็นทฤษฏีความน่าจะเป็น (Theory of Probability) ซึ่งเป็นเรื่องที่แทรกอยู่ในหลายสาขา เรื่องความน่าจะเป็นนี้นอกจากจะใช้ในวิชาชีพชั้นสูงแล้ว เราใช้เสมอในชีวิตประจำ �วัน เช่น ในเรื่องของการพยากรณ์อากาศว่า วันนี้ฝนจะตก 80% ของพื้นที่ ทำ �ให้เราสามารถเตรียมการสำ �หรับการเดินทางไปทำ �งาน หรือในช่วงที่มีโรคระบาดเกิดขึ้นทำ �ให้เราต้อง ตัดสินใจซื้อประกันสุขภาพ แม้แต่การเดินทางในช่วงเทศกาลซึ่งมีโอกาสเกิดอุบัติเหตุค่อนข้างสูงทำ �ให้เราตัดสินใจไม่เดินทางในช่วงนั้น จะเห็นว่าความน่าจะเป็นช่วยเราในเรื่องการตัดสินใจได้มากกว่าว่าจะทำ �หรือไม่ทำ � (go or not go) เรามาดูคำ �ตอบของแฟร์มาและการแสดงให้เห็นวิธีคิดซึ่งทำ �ให้เข้าใจได้ว่าทำ �ไมจึงเรียกปัญหานี้ว่า Problem of the Points จากปัญหานี้ แฟร์มาให้เหตุผลว่าต้องเล่นอีกอย่างมากสุด 4 เกมจึงรู้ผลแพ้ชนะกัน ให้ a แทนเกมที่ A ชนะ และ b แทน เกมที่ B ชนะ ดังนั้น จะมีกรณีต่างๆ ซึ่งเรียกว่า points รวม 16 กรณี ดังนี้ aaaa aaab aaba aabb abaa abab abba abbb baaa baab baba babb bbaa bbab bbba bbbb จะเห็นว่ามีกรณีที่ A ชนะอยู่ 11 กรณีและจะมีกรณีที่ B ชนะอยู่ 5 กรณี ดังนั้น เงินเดิมพันควรถูกแบ่งเป็น A : B = 11 : 5 นั่นแปลว่าต้องแบ่งเงินเดิมพันออกเป็น 16 ส่วนเท่าๆ กัน แล้ว A ได้รับไป 11 ส่วน B ได้รับไป 5 ส่วน นักคณิตศาสตร์ปรบมือให้เลย ผู้อ่านลองคิดต่อโดยใช้แนวทางของแฟร์มาว่าถ้าเกมต้องยุติลงแข่งต่อไปไม่ได้ โดยที่ A ต้องการชนะอีก m เกม ส่วน B ต้องการชนะอีก n เกมจึงจะชนะการแข่งขัน เงินเดิมพันจะถูกแบ่งกันอย่างไร ที่เรียกปัญหานี้ว่า Problem of the Points ก็เพราะว่าต้องแยกเหตุการณ์ที่ A ชนะ และ B ชนะเป็นรายกรณี (Points) ซึ่งรวมทั้งหมด 16 กรณีดังกล่าวข้างต้น แต่ละกรณีใน 16 กรณีนี้มีโอกาสเกิดได้เท่าๆ กันเพราะทั้งคู่มีฝีมือพอๆ กัน นี่เป็นความเข้าใจ ของแฟร์มาในสมัยนั้นโดยยังไม่มีการตั้งเป็นทฤษฎีอะไรเลย จะเห็นว่าปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการหาวิธีนับ (Counting) ว่าจะนับอย่างไรให้ครบทุกกรณีที่เป็นไปได้ทำ �ให้มีการศึกษาเรื่องนี้ อย่างจริงจังจนเกิดเป็น Theory of Counting ซึ่งมีความสำ �คัญในการเรียนสาขาวิชา Computer ในปัจจุบัน และเกิดหัวข้อสำ �คัญ สำ �หรับนักเรียนในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายในปัจจุบันที่ต้องเรียนเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) และการจัดหมู่ (Combination) ก่อนที่จะเรียนหัวข้อความน่าจะเป็น แม้ในการสอบแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกเรื่องการนับนี้ก็เป็นหัวข้อหนึ่งที่ผู้เข้าร่วมการสอบแข่งขัน ต้องศึกษากันอย่างเข้มข้นกันเลยทีเดียว ภาพจาก: https://www.linkedin.com/pulse/predicting-blaise-pascal-pierre-de-fer- mat-harmanjit-singh-bhogal/