นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 247

34 นิตยสาร สสวท. พิจารณารูปต้นไม้แสดงสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ (Mathematics Tree) ข้างล่างนี้ จะเห็นว่าคณิตศาสตร์ทุกสาขาต้องอาศัยรากฐานทั้งสามนี้ ผู้ที่เรียนคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นจำ �เป็นต้องเรียนเรื่องเซต เพราะ 1) คณิตศาสตร์สมัยใหม่ใช้เซตเป็นภาษาในการสื่อสารทางคณิตศาสตร์ และ 2) ใช้เซตของจำ �นวนต่างๆ ในการสื่อสาร และเซตยังมีส่วนช่วยในการพัฒนาระบบจำ �นวนจริงทำ �ให้ระบบจำ �นวนจริงมีทฤษฎีบทที่เป็นพื้นฐานที่แข็งแกร่งต่อแคลคูลัส (Calculus) และการวิเคราะห์ (Analysis) นักคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ให้กำ �เนิดทฤษฎีเซต ก็คือนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor ค.ศ. 1845 - 1918) ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอนุกรมฟูเรียร์ ดังนี้ “ฟังก์ชันใดๆ สามารถแสดงแทนได้ด้วยอนุกรม ฟูเรียร์มากกว่าหนึ่งวิธีได้หรือไม่” (S M Srivastava, 2014) การที่คันทอร์ทำ �วิจัยเพื่อตอบปัญหานี้ด้วยการใช้แนวคิดเกี่ยวกับเซตยังส่งผลให้คันทอร์ได้วางรากฐานเกี่ยวกับทฤษฎีบท ของจำ �นวนจริง (Theory of Real Numbers) อีกด้วย ปัญหาที่คันทอร์พยายามหาคำ �ตอบนี้ เกี่ยวกับงานวิจัยด้านการนำ �ความร้อน (Heat Conduction) ที่ ฟูเรียร์ (Fourier, Jean Baptiste Joseph ค.ศ. 1768 - 1830) ชาวฝรั่งเศส ได้นำ �เสนอต่อสถาบันทางวิทยาศาสตร์ของฝรั่งเศส ในวันที่ 21 ธันวาคม ค.ศ. 1807 โดยฟูเรียร์ได้อ้างว่า “ฟังก์ชันใดๆ ซึ่งนิยามบนช่วง ( - π , π ) สามารถแสดงแทนได้ด้วย โดยที่ a ทั้งหลาย และ b ทั้งหลายเป็นจำ �นวนจริงที่เหมาะสม” (Howard Eves, 1983) คันทอร์สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทเพื่อตอบคำ �ถามเกี่ยวกับการแสดงแทนฟังก์ชันใดๆ ด้วยอนุกรมฟูเรียร์ ดังนี้ Theorem : Every function f : R → R can have at most one representation by trigonometric series. (S M Srivastava, 2014) จากการที่คันทอร์ประสบความสำ �เร็จในการแก้ปัญหาข้างต้นด้วยการใช้แนวคิดเกี่ยวกับเซต และยังใช้แนวคิดนี้บรรยายเกี่ยวกับ จำ �นวนได้ดี จึงทำ �ให้แนวคิดการใช้เซตเป็นภาษาทางคณิตศาสตร์เป็นที่ยอมรับ จากประสบการณ์การสอนและการศึกษาค้นคว้า ผู้เขียนมีข้อสังเกตบางประการในการสอนเรื่องเซตเพื่อช่วยผู้สอนและ นักเรียนสร้างความเข้าใจเนื้อหาและสนุกไปกับการใช้ทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการเรียนเรื่องเซตดังนี้ 1. ทำ �ไมนักคณิตศาสตร์จึงให้คำ �ว่า “เซต” เป็นอนิยาม กล่าวคือไม่ให้ความหมายว่า เซต คืออะไร ถ้าเป็นอย่างนี้นักเรียน จะรู้จักเซตได้อย่างไร จะสอนให้นักเรียนเข้าใจว่าเซตคืออะไรได้อย่างไร เรื่องนี้แต่เดิมคันทอร์ผู้สร้างทฤษฎีเซตได้ให้บทนิยามของเซต ไว้ดังนี้ “A set is a collection of distinct, well - defined objects.”