นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 247

ปีที่ 52 ฉบับที่ 247 มีนาคม - เมษายน 2567 35 การให้บทนิยามของเซตเช่นนี้ ต่อมาทำ �ให้เกิดปฎิทรรศน์ (Paradox) ขึ้นทำ �นองเดียวกับการเกิดปฏิทรรศน์ในวิชาเรขาคณิต จากการที่ยุคลิด (Euclid) ให้บทนิยามของคำ �ว่า จุด เส้น และระนาบ นักคณิตศาสตร์ไม่ต้องการให้เกิดปฎิทรรศน์ขึ้นในคณิตศาสตร์ สาขาใดสาขาหนึ่ง ทำ �ให้นักคณิตศาสตร์ต้องใช้ความรู้เรื่องระบบสัจพจน์ (Axiomatic System) มาปรับเรขาคณิตให้เข้าสู่ระบบสัจพจน์ ที่ไม่มีปฎิทรรศน์ แต่ยังคงรักษาเนื้อหาเดิมเอาไว้ เรื่องเซตก็เช่นเดียวกันในระยะแรกที่ทำ �ให้เกิดปฎิทรรศน์ขึ้น นักคณิตศาสตร์จึงได้ ปรับเรื่องเซตให้เข้าสู่ระบบสัจพจน์โดยให้คำ �ว่า เซตเป็นอนิยามและพัฒนาเนื้อหาตามแนวทางของคันทอร์ เนื้อหาของเซตในหลักสูตรระดับมัธยมศึกษาตอนปลายของประเทศไทยเป็นไปในลักษณะของการแนะนำ �เนื้อหาเบื้องต้น เท่านั้น เริ่มต้นโดยไม่ให้บทนิยามว่าเซตคืออะไรเพื่อหลีกเลี่ยงปฏิทรรศน์แต่ใช้คำ �อธิบายพอให้เข้าใจว่าเซตมีลักษณะอย่างไรดังนี้ “ในวิชาคณิตศาสตร์ใช้คำ �ว่าเซตในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วสามารถทราบได้แน่นอนว่า สิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม” (สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, 2563) จะเห็นว่าหนังสือเรียนไม่กล่าวคำ �ว่า “เซตคือ...” แต่กล่าวถึงสาระสำ �คัญของเซต คือ 1) เป็นกลุ่มของสิ่งของ (Collection of Objects) และ 2) บอกได้ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม (Well - Defined) การยกตัวอย่างของเซตควรยกตัวอย่างที่เข้าทั้งสองลักษณะดังกล่าวที่ชัดเจน เช่น “เซตของสระในภาษาอังกฤษ” “เซต ของจำ �นวนเต็มบวก ที่น้อยกว่า 10” ไม่ควรยกตัวอย่างที่ก่อให้เกิดปัญหาในวิชาเซตมาแล้ว เช่น “เซตของโมเลกุลของน้ำ �ในหนึ่งแก้ว” “เซตของทองแดง” “เซตของเม็ดทรายบนโลก” ตัวอย่างเซตข้างต้นเกินความมุ่งหมายของคันทอร์ ในการพัฒนาวิชานี้คันทอร์มุ่งหมายใช้เซตเพื่อบรรยายเกี่ยวกับจำ �นวน เพราะคณิตศาสตร์ศึกษาเกี่ยวกับจำ �นวน 2. เมื่อเริ่มต้นเรียนเรื่องเซตมีประเด็นใดบ้างที่นักเรียนสับสนหรือเข้าใจได้ยาก (Difficulties) เรื่องนี้ Soon Yu Tiong Spario และ Yeo Kai Kaw Joseph ได้กล่าวถึงประเด็นดังกล่าวในบทความชื่อ “Teaching of Sets” (Lee Peng Yee and Lee Ngan Hoe, 2009) ไว้ดังนี้ 2.1 นักเรียนไม่ชำ �นาญในการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขเพราะหาเงื่อนไขไม่ได้หรือกำ �หนดเงื่อนไขของสมาชิก แล้วหาสมาชิกไม่ถูกต้อง รวมทั้งการเขียนกลับไปกลับมาระหว่างการเขียนแทนเซตทั้งสองแบบ 2.2 นักเรียนสับสนระหว่าง { } , 0 และ {0} เพราะมีลักษณะของความว่างหรือไม่มีเหมือนๆ กัน 2.3 เข้าใจผิดเกี่ยวกับสมาชิกในเซต เช่น เข้าใจว่า 6 ϵ{1, 3, {6, 9}} เพราะเข้าใจผิดคำ �ว่า “อยู่ใน” ในภาษา ของเซต กับคำ �ว่า “อยู่ใน” ในภาษาพูดโดยทั่วไป 2.4 นักเรียนสับสนระหว่างสัญลักษณ์ เช่น ϵ กับ หรือ กับ 2.5 สับสนในการแรเงาแผนภาพเวนน์เกี่ยวกับ กับ เมื่อมีสัญลักษณ์ของคอมพลีเมนต์เข้ามาเกี่ยวข้อง เช่น (A B)' หรือ A B' 2.6 เมื่อต้องการแรเงาแผนภาพเวนน์ที่มี เซต A และ B นักเรียนไม่เข้าใจคำ �ว่า x ϵA ( x อาจอยู่ใน B ได้)กับ x ϵ A เท่านั้น 3. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ 4 เล่ม 1 หัวข้อเซตมีหมายเหตุว่า “เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต” คำ �กล่าวนี้ เป็นสัจพจน์หรือทฤษฎีบทที่พิสูจน์ได้ คำ �ตอบคือ เป็นทฤษฎีบทเพียงแต่ว่าไม่พิสูจน์ในชั้นนี้ การพิสูจน์ว่า “สำ �หรับเซต A ใดๆ Ø A ” ทำ �ได้สองวิธีคือ พิสูจน์ทางตรง (Direct Proof) และการพิสูจน์ทางอ้อม (Proof by Contradiction) การพิสูจน์ทางตรงเป็นดังนี้ พิสูจน์ : x ϵ Ø เป็นข้อความที่เป็นเท็จ ดังนั้น x ϵ Ø → x ϵ A เป็นจริง ดังนั้น x [x ϵ Ø → x ϵ A] เป็นจริง ดังนั้น Ø A (บทนิยามของสับเซต) 4. เรานำ �ทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการสอนเรื่องเซตทำ �ได้หลายวิธีเช่น 4.1 การให้เหตุผล (Reasoning) โดยทั่วไปแล้วการให้เหตุผลทำ �ได้เสมอในวิชาคณิตศาสตร์ ในเรื่องเซตก็เช่นเดียวกัน ดังตัวอย่าง ตัวอย่าง : จากบทนิยาม A B และ A = B จะให้บทนิยามของ A B และ A ≠ B ได้อย่างไร ให้นักเรียนช่วยกันคิดหาวิธีกำ �หนดบทนิยาม ของ A B และ A ≠ B ตัวอย่าง : ทำ �ไมจึงต้องมีการเขียนแทนเซต 2 วิธี จะใช้เพียงวิธีเดียวได้หรือไม่ จงให้เหตุผล ตัวอย่าง : ให้นักเรียนอภิปรายว่าบทนิยามใดดีกว่ากัน