นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 248

18 นิตยสาร สสวท. เนื้อหาของแคลคูลัสในชั้นมัธยมศึกษาปีที่หก ครอบคลุมเนื้อหาที่สำ �คัญสองเรื่องคือ 1) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน และ 2) ปริพันธ์ของฟังก์ชัน แม้ว่าทั้งสองเรื่องนี้เกิดจากปัญหาที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบว่า ทั้งสองเรื่องนี้ซึ่งต่างก็เป็นการดำ �เนินการเอกภาพ (Unary Operation) ต่อฟังก์ชันมีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือ การหา อนุพันธ์ของฟังก์ชันกับการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันเป็นการดำ �เนินการที่ผกผันกัน (Inverse Operation) ด้วยทฤษฎี บทหลักมูลของแคลคูลัส บ ทความนี้จะกล่าวถึง ประวัติ สาระ และความสำ �คัญของทฤษฎีบทหลักมูล ต่อการเรียนแคลคูลัสเพื่อเสริมความรู้ ความเข้าใจ ของ นักเรียน และผู้สนใจดังนี้ 1. ทฤษฎีบทหลักมูลคืออะไร ทฤษฎีบทหลักมูลในวิชาคณิตศาสตร์สาขาใดสาขาหนึ่งจะเป็นทฤษฎีบทหลักที่ตอบปัญหาสำ �คัญ ในคณิตศาสตร์สาขานั้น หรือเป็นทฤษฎีบทที่เป็นเนื้อหาหลัก (Central) ของสาขาวิชาที่ทฤษฎีบทอื่นมักอ้างอิงหรือใช้อยู่เสมอ เท่าที่ สังเกตทฤษฎีบทหลักมูลของแต่ละสาขามีเพียงทฤษฎีเดียวเท่านั้น ตัวอย่างของทฤษฎีบทหลักมูล เช่น ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต (Fundamental Theorem of Algebra) มีใจความดังนี้ “สมการพหุนามดีกรี n a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0 = 0 โดยที่ a i เป็นจำ �นวนเชิงซ้อน a n ≠ 0, n เป็นจำ �นวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1 จะมีผลเฉลย (Solution) ที่เป็นจำ �นวน เชิงซ้อนอย่างน้อย 1 ผลเฉลย” จากทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตนี้ทำ �ให้สรุปได้ว่า “สมการพหุนามดีกรี n ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำ �นวนเชิงซ้อน จะมีผลเฉลย ที่เป็นจำ �นวนเชิงซ้อน n ผลเฉลย” ดังนั้นสมการพหุนาม 5x 5 + 3x 4 - 4x 3 + x 2 + 1 = 0 มี 5 ผลเฉลย (2 + i) 4 x 100 + 5 = 0 มี 100 ผลเฉลย ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตตอบปัญหาที่เป็นจุดสำ �คัญของพีชคณิตในยุคแรกเริ่มที่การศึกษาพีชคณิต มุ่งความสนใจไปที่ การแก้สมการ (Theory of Equations) เพราะหลายปัญหาในทางคณิตศาสตร์ถูกแปลงไปเป็นปัญหาของการแก้สมการต่างจากพีชคณิต ในปัจจุบันจะเป็นพีชคณิตสมัยใหม่ (Modern Algebra) ที่มุ่งศึกษาในเรื่องของโครงสร้างทางพีชคณิต (Algebraic Structures) ในระยะแรกเริ่มของการศึกษาเรื่องสมการ นักคณิตศาสตร์คาดการณ์ว่าสมการพหุนามดีกรี n น่าจะมี n ราก แต่ก็ไม่มี ผู้ใดพิสูจน์ได้ ทำ �ให้ปัญหานี้เป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์มาก ต่อมามีผู้พิสูจน์ได้หลายท่านและหลายแนวทาง ผู้สนใจการพิสูจน์ ทฤษฎีบทนี้สามารถศึกษาได้จากตำ �รา “Complex Variables” ใน Schaum‘s Outline Series เขียนโดย Murray R. Spiegel หน้า 152 ทฤษฎีบทหลักมูลในวิชาคณิตศาสตร์ ยังมีอีกหลายทฤษฎีบท ในที่นี้จะกล่าวถึงทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส 2. ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสปรากฏที่ส่วนใดในแคลคูลัส เรื่องนี้ Ang Keng Cheng ได้เขียนผังมโนทัศน์ (Mind Mapping) แสดงความเชื่อมโยงหัวข้อต่างๆ ในแคลคูลัสไว้ในบทความชื่อ “Teaching of Calculus” (Lee Peng Yee and Lee Ngen Hoe, 2009) ดังนี้