นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 248

20 นิตยสาร สสวท. จะเห็นได้ว่าทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสมี 2 ส่วน คือ 1) ส่วนที่ 1 ซึ่งกล่าวว่า Integration เป็นการดำ �เนินการผกผัน (Inverse Operation) กับ Differentiation กล่าวคือ เมื่อนำ � f มาหาผลรวม (Integrate) จะได้ g และเมื่อนำ � g มาหาอนุพันธ์ (Differentiate) จะได้ f 2) ส่วนที่ 2 ซึ่งกล่าวว่าในการหาลิมิตของผลรวม หรือ f(x)dx สามารถหาได้จาก F(b) - F(a) โดยที่ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f หรือ F'= f ส่วนที่สองนี้มีประโยชน์มากในการหาผลรวมดังกล่าว เพราะหลายฟังก์ชันหาผลรวมได้ยากหรือเป็นไปไม่ได้เลยที่จะหาผลรวม ได้โดยตรง แต่สามารถหาได้ง่ายขึ้น โดยการหา F แล้วแทนค่า F(b) - F(a) ซึ่ง F หาได้จาก ∫ f(x)dx นี่คือเหตุผลว่าทำ �ไมเรา ต้องใช้เวลามากในการศึกษาสูตรต่างๆ ของปริพันธ์ของฟังก์ชันรวมทั้งเทคนิคการหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งปัจจุบันเวลาที่ใช้อาจจะลดลง ได้บ้าง เพราะเรามีซอฟต์แวร์ทางด้านคณิตศาสตร์สัญลักษณ์ (Symbolic Mathematics Software) ที่สามารถแสดงผลการหาอนุพันธ์ และปฏิยานุพันธ์ในรูปของสัญลักษณ์ทางพีชคณิต และสามารถแสดงผลเป็นขั้นตอนต่างๆ (Step-by-Step) ได้อีกด้วย เช่น ซอฟต์แวร์ วูลแฟรมแอลฟาซึ่งสามารถเรียกใช้งานได้โดยไม่เสียค่าใช้จ่ายผ่านเว็บไซต์ www.wolframealpha.com 4. ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสพิสูจน์อย่างไร การพิสูจน์เป็นดังนี้ พิสูจน์ (ส่วนที่1) พิจารณารูปข้างต้นทางด้านซ้ายมือ x,x + h ϵ (a, b) เนื่องจาก g(x) = f(t)dt ดังนั้น g(x- h) - g(x) = f(t)dt - f(t)dt = ( f(t)dt + f(t)dt ) - f(t)dt = f(t)dt ดังนั้น f(t)dt ,h ≠ 0 พิจารณากรณี h ˃ 0 เนื่องจาก f ต่อเนื่องบน [a, b] ดังนั้น f ต่อเนื่องบน [x, x + h] ด้วย โดย Extreme Value Theorem จะได้ว่ามี u, v ϵ [x, x + h] ที่ทำ �ให้ f(u) = m และ f(v) = M โดยที่ m และ M เป็นค่าต่ำ �สุดสัมบูรณ์ และ ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f ในช่วง [x, x + h] ตามลำ �ดับ โดยสมบัติของปริพันธ์จำ �กัดเขตจะได้ว่า mh ≤ f(t)dt ≤ Mh นั่นคือ f(u)h ≤ f(t)dt ≤ f(v)h เนื่องจาก h ˃ 0 จะได้ f(u) ≤ f(t)dt ≤ f(v) หรือ f(u) ≤ ≤ f(v) อสมการข้างต้นยังคงเป็นจริงเมื่อ h < 0 ให้ h → 0 เนื่องจาก x ≤ u, v ≤ x + h ดังนั้น u → x และ v → x เนื่องจาก f ต่อเนื่องที่ x ในช่วง [a, b] โดยสมบัติของความต่อเนื่องของฟังก์ชันจะได้ว่า ลิมิตต่อไปนี้มีค่าเกิดขึ้น lim f (u) = lim f (u) = f(x) และ lim f (v) = lim f (v) = f(x) จากอสมการข้างต้น ให้ h → 0 จะได้ว่า เนื่องจาก lim f (u) = f(x) และ lim f (v) = f(x)