นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 248

ปีที่ 52 ฉบับที่ 248 พฤษภาคม - มิถุนายน 2567 21 โดย Squeeze Theorem จะได้ว่า g'(x) = f(x) หรือ g'(x) = f(x) แสดงว่า g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ϵ (a, b) และ g'(x) = f(x) นั่นก็คือ g'(x) = f(x) , x ϵ (a, b) ดังนั้น g หาอนุพันธ์ได้บน (a, b) และ g' = f โดยสมบัติของการมีอนุพันธ์บน (a, b) จะได้ว่า g จะต่อเนื่องบน (a, b) ด้วย จากอสมการข้างต้น จะได้ว่าอนุพันธ์ของ g ทางขวาที่ a และอนุพันธ์ทางซ้ายที่ b จะมีค่าเกิดขึ้น ดังนั้น g จะต่อเนื่อง ทางขวาของ a และต่อเนื่องทางซ้ายของ b ดังนั้น g จะต่อเนื่องบน [a, b] พิสูจน์ (ส่วนที่ 2) : พิจารณารูปข้างต้นทางด้านขวามือ จากส่วนที่ 1 เรากำ �หนดว่า g(x) = f(t)dt, x ϵ (a, b) และพิสูจน์แล้วว่า g'(x) = f(x) ดังนั้น g เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ใดๆ ของ f โดยสมบัติของปฏิยานุพันธ์จะได้ว่า F และ g ต่างกัน ที่ค่าคงที่ ดังนั้น F(x) = g(x) + c ดังนั้น F(b) - F(a) = [g(b) + c] - [g(a) + c] = g(b) - g(a) = g(b) (g(a) = 0) = f(t)dt (Stewart J., 1995 ) 5. ประโยชน์ของทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสไม่เพียงแต่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างปริพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างสวยงามเท่านั้น แต่ยังทำ �ให้เราสร้างกฎของการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันจากกฎของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น เราทราบว่าถ้า y = โดยที่ n เป็นจำ �นวนธรรมชาติ แล้ว = x n ซึ่งทำ �ให้เราได้กฎของการอินทิเกรตคือ ด้วยวิธีการเช่นนี้ เดอ มอร์ แกน ออกัสตัส ( De Morgan, Augustus ) กล่าวว่า กฎต่างๆ ในการหาปริพันธ์จะหาได้จากกฎต่างๆ ของการหาอนุพันธ์ ภาพจาก: https://owlcation.com/stem/How-to-Understand-Calculus-A-Beginners-Guide-to-Differentiation-and-Integration