นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 261

ปีที่ 54 ฉบับที่ 261 กรกฎาคม - สิงหาคม 2569 | 27 จำ�นวนของสัตว์ อาหาร และทรัพยากรที่ตนมีอยู่ จึงเกิดความจำ�เป็น ในการพัฒนาระบบของสัญลักษณ์เพื่อแสดงปริมาณ เราจะสามารถใช้ สัญลักษณ์ที่พัฒนาขึ้นนี้เพื่อแทนจำ�นวนต่างๆ ของมะม่วงได้ และก็สามารถ นำ�สัญลักษณ์เหล่านั้นมาบวกกันได้ นี่เองคือจุดกำ�เนิดของคณิตศาสตร์ เมื่อสังคมพัฒนาเป็นชุมชนเกษตรกรรมและเมือง การค้าขาย การเก็บภาษี และการก่อสร้างทำ�ให้ต้องมีวิธีคำ�นวณที่แม่นยำ�มากขึ้น อารยธรรมโบราณ เช่น บาบิโลน อียิปต์โบราณ ต่างพัฒนาระบบตัวเลขและวิธีคำ�นวณของ ตนเองขึ้นมาเพื่อใช้วัดพื้นที่เพาะปลูก คำ�นวณปริมาณสินค้า เก็บภาษี และสร้างสิ่งก่อสร้างขนาดใหญ่ มีข้อน่าสังเกตว่าในยุคนี้คณิตศาสตร์จะเน้น เรื่องของเลขคณิต (ภาษาอังกฤษคือ Arithmetic หมายถึง สาขาของ คณิตศาสตร์ที่มุ่งศึกษาจำ�นวนและการดำ�เนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน เช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร วิชานี้เป็นรากฐานสำ�คัญ สำ�หรับการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงในสาขาต่างๆ ต่อไป) เป็นหลัก ต่อมา คณิตศาสตร์ได้พัฒนาไปไกลกว่าการนับและการคำ�นวณ เมื่อนักปรัชญา นักคิดในยุคกรีกโบราณ เริ่มตั้งคำ�ถามเกี่ยวกับเหตุผลและความจริง เชิงตรรกะ มีนักคณิตศาสตร์ที่โด่งดังหลายคน เช่น พีทาโกรัส (Pythagoras) และยูคลิด (Euclid) ได้พัฒนาวิธีพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบ คณิตศาสตร์ในยุคนี้เน้นศึกษาเรื่องการพิสูจน์ เรขาคณิต คณิตศาสตร์ ยุคนี้จึงมีมากกว่าแค่วิชาเลขคณิต หลังจากนั้นความรู้ทางคณิตศาสตร์ ถูกสืบทอดและต่อยอดพัฒนาก้าวหน้ามากขึ้นอย่างมหาศาลเมื่อเวลาผ่านไป จนถึงปัจจุบัน ต่อมา เมื่อพิจารณาถึงธรรมชาติของคณิตศาสตร์ (Nature of Mathematics) พบว่ามีหลายแนวคิด ขอยกตัวอย่างที่สำ�คัญดังต่อไปนี้ สัจนิยม (Realism) เป็นแนวคิดที่มองว่าคณิตศาสตร์มีอยู่จริง อย่างเป็นอิสระจากจิตใจ ภาษา และวัฒนธรรมของมนุษย์ ตามมุมมองนี้ สิ่งต่างๆ เช่น จำ�นวน เซต รูปทรงเรขาคณิต และความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ ภาพ 2 การที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เกิดขึ้นจากการนับสิ่งต่างๆ เช่น การนับ จำ�นวนสัตว์ต่างๆ ที่มา : https://pixabay.com/photos/sheep-counting-homemade-animal-3609224/ ไม่ได้ถูกมนุษย์สร้างขึ้นแต่เป็นสิ่งที่มนุษย์ค้นพบ ตัวอย่างเช่น 2 + 2 = 4 เป็นความจริงมาตั้งแต่ก่อนที่มนุษย์จะถือกำ�เนิดขึ้นและยังคงเป็นความจริง แม้ว่าจะไม่มีใครรับรู้หรือเข้าใจก็ตาม ผู้สนับสนุนแนวคิดนี้ที่ถูกบันทึกไว้ คนแรกๆ คือ เพลโต (Plato) นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ เขาเชื่อว่าคณิตศาสตร์ ดำ�รงอยู่ในโลกนามธรรมที่ไม่ใช่โลกทางกายภาพและมนุษย์สามารถเข้าถึงได้ ผ่านการใช้เหตุผล ตรรกนิยม (Logicism) เป็นแนวคิดที่มองว่าคณิตศาสตร์ทั้งหมด สามารถลดรูปและอธิบายได้ด้วยหลักการทางตรรกศาสตร์ แนวคิดนี้เชื่อว่า ความจริงทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นสิ่งที่มีอยู่โดยอิสระในโลกนามธรรม แต่เป็นผลที่ตามมาจากกฎและโครงสร้างของตรรกะ แนวคิดพื้นฐานทาง คณิตศาสตร์ต่างๆ เช่น จำ�นวน สามารถนิยามได้ด้วยแนวคิดทางตรรกะ ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ทาง ตรรกศาสตร์ คณิตศาสตร์จะไม่ใช่ศาสตร์ที่แยกออกจากตรรกศาสตร์ แต่เป็น ส่วนหนึ่งของตรรกศาสตร์ที่มีความซับซ้อนมากขึ้น กล่าวโดยสรุปคือ คณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถลดทอนให้เหลือเพียงแค่ตรรกศาสตร์ รูปนัยนิยม (Formalism) เป็นแนวคิดที่มองว่าคณิตศาสตร์เป็น ระบบของสัญลักษณ์ สูตร กฎเกณฑ์ เพื่อจุดประสงค์นำ�ไปใช้งาน คณิตศาสตร์ เปรียบเสมือนการเล่นเกมที่มีกฎแน่นอน โดยมีนักคณิตศาสตร์ทำ�การ จัดการกับสัญลักษณ์ต่างๆ โดยเป็นไปตามกฎที่มีอยู่เพื่อสร้างข้อสรุปหรือ พิสูจน์ทฤษฎีบท ความถูกต้องของข้อความทางคณิตศาสตร์จึงขึ้นอยู่กับ ความสอดคล้องของกฎ แนวคิดนี้เชื่อว่าไม่จำ�เป็นต้องมีโลกของคณิตศาสตร์ ตั้งอยู่เป็นเอกเทศนอกเหนือจากโลกทางกายภาพ สหัชญาณนิยม (Intuitionism) เป็นแนวคิดที่มองว่าคณิตศาสตร์ เป็นสิ่งที่ถูกสร้างขึ้นโดยจิตใจของมนุษย์ผ่านกระบวนการคิด โดยปฏิเสธ แนวคิดที่ว่าคณิตศาสตร์มีอยู่ก่อนแล้วและมนุษย์เป็นเพียงผู้ไปค้นพบ แนวคิดนี้จึงปฏิเสธความเชื่อของเพลโตที่ว่าโลกของคณิตศาสตร์ดำ�รงอยู่ เป็นเอกเทศนอกเหนือจากโลกทางกายภาพอย่างสิ้นเชิง ย้อนกลับมาสู่คำ�ถามของวิกเนอร์ที่ถามว่าทำ�ไมคณิตศาสตร์จึง สามารถใช้อธิบายวิทยาศาสตร์ธรรมชาติได้อย่างดีเยี่ยม คำ�ถามนี้ค่อนข้าง ยากที่จะตอบ แต่เมื่อพิจารณาแล้วตั้งแต่การกำ�เนิดของคณิตศาสตร์ที่ เริ่มต้นมาจากการนับและจากแนวคิดรูปนัยนิยม หนึ่งในคำ�ตอบที่เป็นไปได้ ตามความคิดของผู้เขียนคือ ธรรมชาติของกฎในเอกภพมีลักษณะที่เป็น ระเบียบ ส่วนคณิตศาสตร์ก็เป็นระบบของสัญลักษณ์ สูตร กฎเกณฑ์ เพื่อจุดประสงค์นำ�ไปใช้งานที่มีกฎระเบียบตายตัว จึงอาจไม่ใช่เรื่อง น่าแปลกใจนักที่ทั้งสองสิ่งจะสามารถสอดคล้องกันได้เป็นอย่างดี กล่าวโดยสรุป คณิตศาสตร์เป็นเหมือนเครื่องมือของมนุษย์ทำ�ให้เราเห็นว่า เอกภพ ธรรมชาติมีกฎระเบียบที่ถูกซ่อนเอาไว้ Burkholder, E. W. & Murillo-Gonzalez, G. & Wieman, C. (2021). Importance of Math Prerequisites for Performance in Introductory Physics. Physical Review Physics Education Research, 17 (1): 100-108. Chiu, M. S. (2016). The Challenge of Learning Physics Before Mathematics: a case study of curriculum change in Taiwan. Research in Science Education, 46 (6): 767-786. Chotsisuparat, N. (2024). Basic Arithmetic [Kindle edition; ASIN B0CW1DTB8V]. Feynman, R. (1967). The Character of Physical Law (1965) . London: Cox and Wyman Ltd. Harvey, A. (2011). The Reasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. General Relativity and Gravitation, 43 (12): 3657-3664. Wigner, E. P. (1990). The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Mathematics and Science, 13 : 1-14. บรรณานุกรม