นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 182 พฤษภาคม - มิถุนายน 2556

27 / 62

27 ปีที่ 41 ฉบับที่ 182 พฤษภาคม - มิถุนายน 2556
นักคณิตศาสตร์ในอดีตเรียกจำ�นวนนับที่สามารถแสดง
ด้วยการวางสิ่งของที่มีขนาดเท่า ๆ กัน เรียงต่อกันเป็นรูปหก
เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ว่า จำ�นวนหกเหลี่ยม (hexagonal
number) จำ�นวน 1 ก็จัดว่าเป็นจำ�นวนหกเหลี่ยมด้วย จำ�นวน
หกเหลี่ยมอื่น ๆ ที่สังเกตได้จากแบบรูปของจำ�นวน เช่น
2+3+2 = 7, 3+4+5 +4+3 = 19, 4+5+6+7+6+5+4 = 37,
5+6+7+8+ 9+8+7+6+5 = 61 มีข้อสังเกตว่าจำ�นวนที่อยู่ใน
ตำ�แหน่งตรงกลางเป็นจำ�นวนคี่
การสังเกตแบบรูปของจำ�นวนหกเหลี่ยมวิธีอื่น ๆ เช่น
1 1+6 1+6(1+2) 1+6(1+2+3)
แบบรูปนำ�ไปสู่รูปทั่วไปของจำ�นวนหกเหลี่ยม คือ
1+6[1+2+3+ …+(n-1)]
เนื่องจาก 1+2+3+…+(n-1) = =
ดังนั้น รูปทั่วไปของจำ�นวนหกเหลี่ยม คือ
1 + 3n(n–1) = 3n2–3n+1 เมื่อ n เป็นจำ�นวนหกเหลี่ยม
จำ �นวนที่ n
เช่น จำ�นวนหกเหลี่ยมจำ�นวนที่ 5 คือ
3(52) – 3(5) + 1 = 61
พิจารณาผลบวกของจำ�นวนหกเหลี่ยมตั้งแต่จำ�นวนแรก
ถึงจำ�นวนที่ n ได้แก่ 1, 7, 19, …, 3n2–3n+1
1 = 13 , 1+7 = 8 = 2 3, 1+7+19 = 27 = 33,
1+7+19+37 = 64 = 4 3 , 1+7+19+37+61 = 125 =53
ผลบวกของจำ�นวนหกเหลี่ยม n จำ�นวนแรก เท่ากับ
n3 เป็นจำ�นวนกำ�ลังสาม (cube number) กล่าวคือ ถ้าเรานำ�
ลูกบอลมาวางเรียงกันเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าตั้งแต่ 1 ถึง
จำ�นวนหกเหลี่ยมจำ�นวนหนึ่ง จะสามารถนำ�ลูกบอลทั้งหมดนั้นมา
วางซ้อนกันเป็นรูปลูกบาศก์ได้ และในทางกลับกันก็เป็นจริง
ตัวอย่าง 1+7+19 = 33
ปัญหา ในการจัดประชุมครูคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่งที่จังหวัด
สุราษฎร์ธานี พนักงานจัดเตรียมเครื่องดื่มพร้อมอาหารว่าง จัด
เตรียมไว้บนโต๊ะ โต๊ะละจำ�นวนเท่า ๆ กัน ดังภาพ
1) ให้หาว่าบนโต๊ะตัวหนึ่งมีอาหารว่างกี่ชุด
2) ให้หาจำ�นวนอาหารว่าง เมื่อพนักงานตั้งโต๊ะไว้ 3 ตัว 6 ตัว
และ 9 ตัว ตามลำ�ดับ
คำ�ตอบ
1) จานใส่อาหารว่างวางเรียงต่อกันเป็นรูปหกเหลี่ยมด้าน
เท่ามุมเท่า มีจำ �นวน 4+5+6+7+6+5+4 = 37 จาน ซึ่งอาจหา
โดยใช้รูปทั่วไปของจำ�นวนหกเหลี่ยม 3n2 –3n+1 เมื่อ n = 4
2) จำ�นวนอาหารว่างบนโต๊ะ 3 ตัว เท่ากับ 37x3 = 111 จาน
จำ�นวนอาหารว่างบนโต๊ะ 6 ตัว เท่ากับ 37x(3x2) = (37x3)x2
= 111x2 = 222 จาน
จำ�นวนอาหารว่างบนโต๊ะ 9 ตัว เท่ากับ 37x(3x3) = (37x3)x3
= 111x3 = 333 จาน
เป็นการหาคำ�ตอบโดยใช้สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ
การเชื่อมโยงเนื้อหาสาระของคณิตศาสตร์กับสิ่งรอบ
ตัว ทำ�ให้เนื้อหานั้นมีความหมายชัดเจนยิ่งขึ้น และในขณะ
เดียวกันก็เป็นการช่วยเพิ่มคุณค่าของสิ่งต่าง ๆ นั้น ในฐานะที่
เป็นสื่อการเรียนรู้ เรามักมีโอกาสสัมผัสกับสิ่งต่าง ๆ ที่อยู่รอบ
ตัว มากกว่าการสัมผัสกับเนื้อหาคณิตศาสตร์โดยตรง การได้
ทราบว่าสิ่งต่าง ๆ นั้นมีความเชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์อย่างไร
เมื่อได้พบเห็นก็ย่อมทำ�ให้เกิดระลึกถึงคณิตศาสตร์ และอาจ
เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการศึกษาต่อไปอย่างลุ่มลึกและกว้าง
ขวางยิ่งขึ้นทำ �ให้เกิดองค์ความรู้ใหม่ที่มีประโยชน์มีคุณค่า
(1+n-1)(n-1)
2
n(n-1)
2