35 / 62
35
ปีที่ 41 ฉบับที่ 182 พฤษภาคม - มิถุนายน 2556
คณิตศาสตร์ เมื่อเราไปตลาด ไปธนาคาร ไปเล่นกีฬา การเช่าซื้อ
รถหรือบ้าน หรือ แม้กระทั่งการทำ
�อาหาร ล้วนต้องใช้ความรู้ทาง
คณิตศาสตร์ทั้งสิ้น ซึ่งเป็นประโยชน์ที่เป็นประจักษ์ของทุกคนอยู่
แล้ว แต่นั่นเป็นเพียงประโยชน์ของคณิตศาสตร์พื้นฐานเท่านั้น
คนส่วนใหญ่ยังมองไม่เห็นประโยชน์ของคณิตศาสตร์ระดับสูง
ยกเว้นคนที่เลือกศึกษาต่อในระดับมหาวิทยาลัย โดยเฉพาะคน
ที่เลือกเรียนแพทย์ เรียนฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ หรือ เศรษฐศาสตร์
เป็นต้น หารู้ไม่ว่าทุกคนได้สัมผัสกับคณิตศาสตร์ระดับสูงเป็น
ประจำ
�โดยไม่รู้ตัว ถึงแม้นักเรียนจะไม่ชอบคณิตศาสตร์ หารู้ไม่
ว่าเขาต้องใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูงเป็นประจำ
� โดยเฉพาะเวลาไป
กดเงินที่ตู้เอทีเอ็ม การใช้บัตรเครดิต หรือแม้กระทั้งการท่องเน็ต
ปัจจุบันครูที่ดีต้องเป็นครูที่ชอบเรียนไม่ใช่ชอบสอนอย่างเดียว ครู
ที่ชอบสะสมบทประยุกต์ของคณิตศาสตร์ จะได้เปรียบครูอื่น ๆ
ครูที่สอนให้เด็กรู้ถึงประโยชน์ของคณิตศาสตร์จะทำ
�ให้นักเรียน
ชอบคณิตศาสตร์มากขึ้น
ในยุคของเทคโนโลยี เป็นยุคที่โลกเราติดต่อเชื่อมโยงถึงกัน
เป็นยุคที่คนส่วนใหญ่นิยมใช้บัตรเครดิต ต้องปกป้องและซ่อน
ข้อมูลลับของตัวเองจากผู้อื่น คณิตศาสตร์มีบทบาทสำ
�คัญมาก
ควบคู่ไปกับพัฒนาการทางคอมพิวเตอร์และการสื่อสาร ลอง
นึกภาพการสื่อสารระหว่างธนาคารกับลูกค้าที่ต้องการเบิกเงิน
จากตู้เอทีเอ็ม ธนาคารจะรู้ได้อย่างไรว่า คนที่มากดเงินจากตู้
เอทีเอ็มคือคนที่ได้รับอนุญาตจากธนาคาร ลูกค้าจะต้องใส่รหัส
ผ่านที่ธนาคารกำ
�หนดให้ ลูกค้าจะมั่นใจได้อย่างไรว่า ระหว่าง
ส่งรหัสผ่านให้ธนาคารจะไม่มีใครแอบดูดข้อมูลระหว่างที่ข้อมูล
เดินทางจากตู้เอทีเอ็มไปยังธนาคาร จึงจำ
�เป็นต้องมีระบบ
รักษาความปลอดภัย ต้องมีระบบการเข้ารหัสและถอดรหัส
เพื่อป้องกันไม่ให้มีใครแอบดูดข้อมูลระหว่างทางได้ หรือถ้าดูด
ข้อมูลไปได้ ก็ไม่สามารถถอดรหัสข้อมูลที่ส่งได้
วิทยาการรหัสลับ
(cryptography)
เป็นวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับการเข้ารหัสและ
ถอดรหัส ไม่ให้ผู้ไม่หวังดีที่ดักขโมยข้อมูลหรือรหัสผ่านล่วงรู้ถึง
ข้อความหรือรหัสผ่านที่แท้จริงนั้นได้
สมมุติว่ามีคนสองคนชื่ออลิส (Alice) และบ็อบ (Bob) ซึ่งอยู่
ห่างไกลกัน แต่ต้องการสื่อสารส่งข้อความลับถึงกัน ผ่านระบบ
สื่อสารสาธารณะ วิธีหนึ่งคืออลิสเขียนข้อความที่เป็นความลับ
นั้น เก็บใส่กล่อง ล็อกกุญแจ แล้วส่งไปให้บ็อบ ปัญหาคือบ็อบจะ
อ่านข้อความลับนั้นได้อย่างไร แสดงว่าอลิสต้องส่งลูกกุญแจตาม
ไปด้วย ซึ่งย่อมไม่ปลอดภัย เพราะถ้ามีคนแอบขโมยลูกกุญแจ
ไปได้ ก็สามารถจะไขกุญแจแล้วอ่านข้อความที่เป็นความลับได้
ข้อความ
ของอลิส
เข้ารหัสโดยใช้
กุญแจสาธารณะ
ของบ็อบ
ถอดรหัสโดยใช้
กุญแจส่วนตัว
ของบ็อบ
ข้อความ
ของอลิส
อลิสส่งข้อความที่
เข้ารหัสแล้วให้บ็อบ
อลิส และบ็อบตกลงกันใหม่ว่า จะใช้ระบบสื่อสารที่ผู้รับ
และผู้ส่ง ถือกุญแจคนละชุด (แม่กุญแจและลูกกุญแจ) สมมุติว่า
อลิสต้องการส่งข้อความลับให้บ็อบ อลิสขอให้บ็อบส่งกล่องเปล่า
ไปให้พร้อมทั้งแม่กุญแจที่ยังไม่กดล็อก โดยบ็อบเก็บลูกกุญแจ
ไว้เอง เมื่ออลิสได้รับกล่อง อลิสใส่ข้อความลงในกล่อง กดล็อก
กุญแจ แล้วส่งกลับไปให้บ็อบ บ็อบใช้ลูกกุญแจที่ตัวเองมีอยู่
ปลดล็อก บ็อบก็สามารถอ่านข้อความได้ ในทำ
�นองเดียวกัน ถ้า
บ็อบต้องการตอบความลับกลับให้อลิส บ็อบจะต้องขอให้อลิสส่ง
กล่องเปล่า พร้อมแม่กุญแจของอลิสที่ยังไม่ปิดล็อกมาให้ บ็อบใส่
ข้อความลงในกล่อง ปิดล็อก แล้วส่งกลับไปให้อลิส ระบบนี้ถือว่า
มีความปลอดภัย เพราะไม่ต้องส่งลูกกุญแจให้กัน แต่ไม่สะดวก ถ้า
มีคนจำ
�นวนมากต้องการสื่อสารกัน ระบบที่สะดวกและปลอดภัย
คือระบบที่แต่ละคนในระบบ ถือลูกกุญแจคนละสองดอก
ดอกหนึ่งใช้สำ
�หรับเข้ารหัส สามารถเปิดเผยให้สาธารณะรู้ได้
เรียกว่า
กุญแจสาธารณะ
(public key)
ส่วนอีกดอกหนึ่งใช้
สำ
�หรับถอดรหัส ซึ่งต้องเก็บเป็นความลับ เรียกว่า
กุญแจส่วนตัว
(private key)
ถ้าอลิสต้องการส่งข้อความให้บ็อบ อลิส
จะต้องใช้กุญแจสาธารณะของบ็อบในการเข้ารหัสข้อความ แล้ว
ส่งข้อความที่เข้ารหัสด้วยกุญแจสาธารณะของบ็อบไปให้บ็อบ
บ็อบเป็นคนเดียวที่จะใช้กุญแจส่วนตัวของตนถอดรหัส และ
อ่านข้อความได้ โดยปกติกุญแจสาธารณะและกุญแจส่วนตัวจะ
สัมพันธ์กันในเชิงคณิตศาสตร์ ระบบที่จัดว่าเป็นระบบที่ปลอดภัย
มาก ๆ ระบบหนึ่ง คือระบบที่อาศัยความยากของการหาจำ
�นวน