นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 193 มีนาคม - เมษายน 2558

19 / 62

วิธีการหนึ่งในการท�ำให้ผู้เรียนเห็นถึงความส�ำคัญในการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ คือ การแสดงให้เห็นถึงสถานการณ์หรือปัญหาบางอย่างที่
สามัญส� ำนึกของผู้คนทั่วไปอาจชวนให้คาดการณ์ค�ำตอบในทางหนึ่ง ซึ่งผิดไป
จากผลลัพธ์จากการค�ำนวณทางคณิตศาสตร์จริง ๆ สถานการณ์เช่นนี้มักเรียก
กันว่า ‘ปฏิทรรศน์ทางคณิตศาสตร์’ หรือ ‘Mathematical Paradox’ ซึ่งใน
บทความนี้จะน�ำเสนอสถานการณ์ ‘ปฏิทรรศน์ทางคณิตศาสตร์’ เกี่ยวกับ
ความน่าจะเป็นสามสถานการณ์ ซึ่งครูผู้สอนสามารถน�ำไปใช้เป็นกรณีอภิปราย
กับผู้เรียนในชั้นเรียนได้ เพื่อแสดงถึงประโยชน์ของหลักการต่าง ๆ เกี่ยวกับ
ความน่าจะเป็นที่ได้เรียนมา
ได้หลากหลายถึง 365 วัน โอกาสที่จะมีคนที่เกิดวัน
และเดือนเดียวกันไม่น่าจะสูง และจะให้ค�ำตอบว่า
ความน่าจะเป็นควรจะน้อยกว่ากึ่งหนึ่ง
หลังจากผู้ เรียนแต่ละคนเขียนค�ำตอบพร้อม
เหตุผลของตนเองแล้ว ผู้สอนอาจทดลองตรวจสอบ
ค�ำตอบจากสถานการณ์จริงโดยให้ผู้เรียนในชั้นบอก
ข้อมูลไปตามล�ำดับว่า มีใครเกิดในเดือน มกราคม
กุมภาพันธ์ มีนาคม . . . ไปตามล�ำดับบ้าง และใน
แต่ละเดือนมีใครเกิดวันที่เท่าใดบ้าง พร้อมทั้งให้
ผู้เรียน ผู้ช่วยหรือ ผู้สอนเองบันทึกบนกระดานเพื่อ
ส�ำรวจว่ามีกรณีที่ผู้เรียนสองคนหรือมากกว่าเกิดใน
วันเดียวกันหรือไม่ ก่อนจะสรุปการทดลองว่ามีหรือ
ไม่มี ‘เพื่อนร่วมชะตา’ ในชั้นเรียนนั้น
ซึ่งจากหลักของความน่าจะเป็นแล้ว ควรจะมี
ผู้เรียนอย่างน้อยหนึ่งคู่ที่เกิดวันเดียวกัน เนื่องจาก
ความน่าจะเป็นที่จะมี ‘เพื่อนร่วมชะตา’ ส�ำหรับ
ชั้นเรียนที่มีจ�ำนวนผู้เรียน 50 คน มีค่าสูงถึง 97% โดย
ครูอาจแสดงการพิจารณาและการค�ำนวณความน่าจะเป็น
ดังนี้
ในการหาค่าความน่าจะเป็นที่ผู้เรียนจ�ำนวน 50 คน
มีอย่างน้อย 1 คู่ที่เป็นเพื่อนร่วมชะตากัน โดย
พิจารณาให้โอกาสในการเกิดวันและเดือนต่าง ๆ ของ
นักเรียนมีค่าเท่ากันตลอดทั้ง 365 วัน อาจค�ำนวณได้
จากความน่าจะเป็นในกรณีทั่วไปที่ผู้เรียนจ�ำนวน
n คน มีวันเกิดที่แตกต่างกันทั้งหมดแล้วน�ำไปลบจาก
1 โดยความน่าจะเป็นที่ผู้เรียนจ�ำนวน n คนมีวันเกิด
ที่ไม่ซ�้ำกันเลยสามารถหาได้จาก
ส�ำหรับการน�ำเสนอปฏิทรรศน์วันเกิด ผู้สอนสามารถเริ่มต้นด้วย
กิจกรรมค�ำถาม ‘เพื่อนร่วมชะตา’ โดยก�ำหนดนิยามของ ‘เพื่อนร่วมชะตา’
ว่ า หมายถึง เพื่อนที่เกิดวันและเดือนเดียวกัน แต่ ไม่ จ�ำเป็นต้ อง
เป็น พ.ศ. เดียวกัน โดยก่อนเริ่มกิจกรรมผู้สอนอาจสอบถามผู้เรียนก่อนว่า
มีใครเกิดวันที่ 29 กุมภาพันธ์ ซึ่งถือเป็นกรณีพิเศษบ้าง และหากมีผู้เรียนที่
เกิดในวันที่ 29 กุมภาพันธ์ ครูอาจมอบหมายให้ผู้เรียนผู้นั้นเป็นผู้ช่วยครูใน
การบันทึกผลของกิจกรรมแทน จากนั้นครูผู้สอนอาจเริ่มต้นตั้งค�ำถามว่า
จากจ�ำนวนผู้เรียนที่เหลือทั้งหมด สมมติให้มีจ�ำนวน 50 คน ความน่าจะเป็น
ที่จะมี ‘เพื่อนร่ วมชะตา’ หรือผู้ เรียนที่เกิดวันและเดือนเดียวกัน
อย่างน้อย 1 คู่ จะมากหรือน้อยกว่ากึ่งหนึ่งหรือ 0.5 ทั้งนี้ครูอาจให้ผู้เรียน
ร่วมกันพิจารณาจ�ำนวนวันเกิดทั้งหมดที่เป็นไปได้ นั่นคือ 365 วัน (โดยไม่
นับวันที่ 29 กุมภาพันธ์ ซึ่งถือเป็นกรณีพิเศษและมีโอกาสเกิดขึ้นน้อยกว่า
วันอื่น ๆ ) กับจ�ำนวนผู้เรียนคือ 50 คน ว่ามีผลต่อความน่าจะเป็นอย่างไร
ก่อนจะให้ผู้เรียนแต่ละคนสรุปค�ำตอบของตนเอง ซึ่งในสถานการณ์
ปฏิทรรศน์วันเกิดนี้ หากใช้สามัญส�ำนึกโดยทั่วไปในการพิจารณา คนส่วน
ใหญ่จะรู้สึกว่า จากจ�ำนวนผู้เรียนเพียง 50 คน กับจ�ำนวนวันเกิดที่เป็นไป
ดร.อลงกต ใหม่ด้วง
นักวิชาการ สาขาคณิตศาสตร์มัธยมศึกษาตอนต้น สสวท/ e-mail:
ปีที่ 43 ฉบับที่ 193 มีนาคม - เมษายน 2558
19
1 ปฏิทรรศน์วันเกิด (Birthday Paradox) กับกิจกรรมค� ำถาม ‘เพื่อนร่วม
ชะตา’
ความน่าจะเป็นที่ไม่น่าจะเป็น
ลองเล่นเห็นได้ด้วย
คณิตศาสตร์