นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 186 มกราคม - กุมภาพันธ์ 2557

11 / 62

m
m
0 x =
m
m
m mg x k
=
2 mg x k
=
(c) (d) (e) (b) (a)
จากรูป (a) ปลอยวัตถุที่ตำแหนงปลายสปริง
(b) วัตถุกำลังเคลื่อนที่ผานตำแหน งสมดุลแรง (x=mg/k) แตไมหยุดนิ่งเพราะยังมีสภาพเฉื่อย
กอนเขาสมดุลแรง
(c) วัตถุหยุดนิ่งที่ตำแหนงต่ำสุด
(d) วัตถุกำลังเคลื่อนที่ขึ้นผานตำแหนงสมดุล
(e) วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นจะมาหยุด ณ ตำแหนงที่ปลอย (ซ้ำกับกรณี (a) นั่นเอง)
พื้น
แล้วเราจะหาค�าตอบของสถานการณ์นี้อย่างไร..............
..............................................................................................
ใช่แล้วครับ โดยสมมติว่ามีการอนุรักษ์พลังงาน โดยให้
ต�าแหน่งต�่าสุดของก้อนมวลเป็นต�าแหน่งอ้างอิงส�าหรับค�านวณ
พลังงานศักย์โน้มถ่วง และให้สมมติว่าเกิดการเปลี่ยนรูปพลังงาน
ศักย์โน้มถ่วงเป็นพลังงานศักย์ยืดหยุ่นในสปริงอย่างสมบูรณ์
(ไม่เกิดพลังงานในรูปอื่นขึ้น) ซึ่งเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ว่า
2 1
2
mgh mgx kx  (1)
และจัดรูปเป็นสมการพหุนามก�าลังสองได้ว่า
2 2 2 0 mg mg
x x h
k k    (2)
ค�าตอบของสมการดังกล่าวสามารถหาได้ไม่ยากเพราะ
เป็นที่ทราบกันดีว่าสมการที่มีรูป 2 0 Ax Bx C   มีราก
ค�าตอบเป็น
2 4
2
B B AC
x
A
  
 ดังนั้นในสถานการณ์นี้เรา
จะได้ว่า
2
2 2 8
2
mg mg mgh
k k k mg
x R
k
 
 
 
 
   (3)
โดยที่เราเขียนให้
2 2 mg mgh
R
k k
 
   
 
(4)
เพื่อสะดวกต่อการพิจารณาในล�าดับถัดไป
จากสมการ (3) จะเห็นว่าค�าตอบที่ได้มีความสมมาตร
รอบต�าแหน่ง mg x
k = ซึ่งเป็นต�าแหน่งของสมดุลแรง และ
เคลื่อนที่ลงมาจากต�าแหน่งดังกล่าวอีกเป็นระยะ R (ข้อมูล
เพิ่มเติม สังเกตว่าค่า R จากสมการ (4) จะมีค่าเป็นบวกเสมอ
ดังนั้น R จึงมีค่าเป็นบวกเสมอ ซึ่งท�าให้การพิจารณาง่ายขึ้น
ในกรณีที่ R น้อยกว่าศูนย์ รากที่สองของ R จะกลายเป็น
จ�านวนเชิงซ้อน ซึ่งการพิจารณาจะยุ่งยากมากกว่านี้)
เรามาลองพิจารณาในกรณีต่อไปนี้
กรณีที่ 1 ถ้า 0 h =
จากสมการ (4) เราจะได้ว่า
2
mg R
k
 
  
 
ดังนั้นค�าตอบ
ของสมการ (3) ที่ได้คือ
0 x = หรือ
2 mg x
k =
เราสามารถบรรยายสถานการณ์ได้ดังนี้ หากเราวางก้อน
มวลที่ปลายของสปริงพอดีและปล่อยให้ก้อนมวลเคลื่อนที่ลง
มา เราจะได้การสั่นของก้อนมวลที่เคลื่อนที่ขึ้นลงรอบต�าแหน่ง
สมดุลแรง ( mg x
k
= ) โดยมีแอมพลิจูดการสั่นเท่ากับ mg
k
ด้วย
กรณีที่ 2 ถ้า 0 h >
การหาค�าตอบของ
2 2 mg mgh
R
k k
 
   
 
ในรูปของ
ตัวแปรกระท�าได้ค่อนข้างยาก แต่ถึงกระนั้นจากรูปค�าตอบ
เราอาจเขียนได้ว่า mg R
k    อย่างแน่นอน (คือ R
จะไม่น้อยไปกว่าค่า mg
k
แน่ ๆ ) ซึ่งท�าให้เราบรรยายสภาพ
การเคลื่อนที่ได้ว่า ถ้าปล่อยมวลสูง h จากต�าแหน่งปลายของ
สปริง และถ้าสมมติว่าก้อนมวลนั้นติดแน่นกับปลายสปริงตลอด
เวลา สภาพการเคลื่อนที่จะเป็นการสั่นรอบต�าแหน่งสมดุล
ปีที่ 42 ฉบับที่ 186 มกราคม - กุมภาพันธ์ 2557
11