30 / 62
30
นิตยสาร สสวท
ดร.ปรางใส เที่ยงตรง • อาจารย์ประจ�ำ คณะวิทยาการเรียนรู้และศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ • e-mail:
prangsai.t@gmail.comProof without words:
หนึ่งในวิธีพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์
ส� ำหรับผู้ เรียนระดับมัธยมศึกษา
เราไม่สามารถปฏิเสธได้ว่าผู้เรียนจะพบเห็น
สูตรคณิตศาสตร์ต่าง ๆ มากมายเวลาเรียนคณิตศาสตร์
ซึ่งการสอนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษาของไทย
ในปัจจุบัน วิธีการหนึ่งที่ถูกน�ำมาใช้คือการน�ำเสนอสูตร
ให้แก่ผู้เรียน โดยมีเป้าหมายให้ผู้เรียนสามารถน�ำ
สูตรเหล่ านั้นไปใช้ ในการค�ำนวณเพื่อแก้ ปัญหา
ทางคณิตศาสตร์ ยกตัวอย่ างเช่ น การใช้ สูตร
ในการค�ำนวณหาค่าของตัวแปร และการใช้สูตร
ในการแก้ โจทย์ ปัญหา ค�ำถามที่เกิดตามมาคือ
ถ้าผู้เรียนไม่รู้ที่มาของสูตรเหล่านั้น แล้วเรายังถือว่า
ผู้เรียนเข้าใจเนื้อหาอย่างถ่องแท้หรือไม่ และการรู้ที่มา
ของสูตรมีประโยชน์อย่างไรต่อผู้เรียน
Assaf Goldberger (2002) กล่าวว่า หนทางเดียว
ที่จะมั่นใจได้ว่าข้อความคาดการณ์ (conjecture) ถูกต้องหรือไม่
คือ การประเมินข้อความคาดการณ์นั้นด้วยวิธีพิสูจน์ที่สมเหตุ
และสมผล การพิสูจน์อย่างถูกต้องและสมบูรณ์แสดงให้เห็น
ความเข้าใจของผู้พิสูจน์ต่อปัญหานั้นอย่างแท้จริง เพราะ
ในขั้นตอนของการพิสูจน์ ผู้พิสูจน์ต้องเข้าใจทฤษฎีต่างๆ ที่
น�ำมาใช้อย่างลึกซึ้ง จึงไม่เป็นเรื่องแปลกที่นักคณิตศาสตร์
จะได้รับความรู้และความเข้าใจที่ลึกซึ้งเพิ่มขึ้นมากหลังจาก
ที่ได้ท�ำการพิสูจน์แล้ว ไม่ว่าการพิสูจน์นั้นจะสัมฤทธิ์ผล
หรือไม่ นอกจากนี้ Assaf Goldberger ยังกล่าวอีกว่า
เป้าหมายของการเรียนคณิตศาสตร์ ไม่ใช่เพียงการแก้สมการ
หรือการหาค่าต�่ำสุดของฟังก์ชัน หรือการหาปริมาณต้น
ข้าวสาลีที่เราควรปลูก แต่เป็นการท�ำความเข้าใจในกฎหรือ
ข้อตกลงต่างๆ ที่อยู่เบื้องหลังของจ�ำนวน พีชคณิต และ
เรขาคณิตที่ปรากฏ
รอบรู้
คณิต