34 / 62
34
นิตยสาร สสวท
ตัวอย่างที่ 2
การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) โดย Frank Burk (1996)
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาว
ของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะได้ว่า
a
2
+ b
2
= c
2
จากการพิสูจน์ข้างต้น ผู้สอนอาจขยายความของการพิสูจน์ให้แก่ผู้เรียนเพื่อให้เข้าใจมากขึ้น ดังนี้
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสีฟ้ามี a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และมี c เป็นความยาวของ
ด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อน�ำค่าคงตัวที่มากกว่าศูนย์ a, b และ c มาคูณความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากสีฟ้า ผลคูณที่ได้จะเป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสีเหลือง รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียว
และรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสีชมพู ตามล�ำดับ
จึงเห็นได้ว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสีเขียวและรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสีเหลืองเมื่อน�ำมาประกอบกันเป็นรูป
สามเหลี่ยมมุมฉากรูปใหญ่ที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉากเป็น ac และ bc โดยมีความยาวของด้านตรงข้าม
มุมฉากเป็น a
2
+ b
2
ในขณะที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสีชมพูมีความยาวของด้านประกอบมุมฉากเป็น ac และ bc
โดยมีความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น c
2
เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปใหญ่ทั้งสองเป็นรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากที่เท่ากันทุกประการ (เพราะ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งสองมีด้านประกอบมุมฉากยาวเท่ากัน คือ ac และ bc )
จึงสรุปได้ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองยาวเท่ากันด้วย ดังนั้น a
2
+ b
2
จึงมีค่าเท่ากับ c
2
การแสดงวิธีพิสูจน์โดยใช้วิธี Proof without words นี้เป็นอีกหนึ่งวิธีการที่ผู้เรียนสามารถเข้าใจที่มาของ
สูตรต่างๆ ได้ อย่างไรก็ตามวิธีการพิสูจน์ที่น่าสนใจมีอีกหลายวิธี ดังนั้น การเลือกวิธีการพิสูจน์ให้เหมาะสมกับ
ช่วงวัยของผู้เรียน และระดับความซับซ้อนของเนื้อหาที่เรียน จึงมีความส�ำคัญต่อการสร้างความสนใจและความเข้าใจ
ของผู้เรียนในการเรียนคณิตศาสตร์
บรรณานุกรม
Alsina, C., & Nelsen, R. B. (2010). An Invitation to Proofs Without Words.
European Journal of Pure and Applied
Mathematics
.3 (1), 118-127.
Burk, F. (1996). Behold: The Pythagorean Theorem.
The College Mathematics Journal
. 27 (5), 409.
Goldberger, A. (Spring. 2002).
Mathematical Proofs
. Lecture presented at Math 216 class.
Hanna, G. (November. 1995). Challenges to the Importance of Proof.
For the Learning of Mathematics.
15 (3), 42–49.
Hemmi, K., & Löfwall, C. (2009).
Why do we need proof?
Proceedings of CERME 6, Lyon, France.
คูณ a, b, c ด้วย b
a
ac
ac
a
2
b
2
c
2
c
b
คูณ a, b, c ด้วย a
คูณ a, b, c ด้วย C
ab
bc
bc
พิสูจน์