นิตยสาร สสวท. ฉบับที่ 188 พฤษภาคม - มิถุนายน 2557

18 / 62

18
นิตยสาร สสวท.
โลกทัศน์เปิดกว้าง
บนตารางการคูณ
ตารางการคูณเป็นการแสดงการคูณของจำ�นวนนับอย่างเป็น
ระเบียบ หรือแสดงภาพโดยรวมของสูตรคูณนั่นเอง ในบทความนี้
จะขอแสดงการคูณกันของจำ�นวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 10 ดังนี้
ปรีชา เนาว์เย็นผล
ผู้เชี่ยวชาญ สาขาคณิตศาสตร์มัธยมศึกษาตอนต้น สสวท. / e-mail :
ผลคูณของจำ�นวนนับบนตารางการคูณมีระบบเป็นระเบียบ
ทำ�ให้เกิดแบบรูปของจำ�นวนมากมายนำ �ไปสู่การค้นหาความ
สัมพันธ์และสรุปเป็นกฎเกณฑ์ได้โดยใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย
เพื่อความสะดวกในการกล่าวถึง จะขอนำ�เสนอตารางเฉพาะ
ส่วนที่เป็นผลคูณเท่านั้น โดยไม่แสดงส่วนที่แรเงาจากตาราง
ข้างต้นซึ่งเป็นตัวตั้งและตัวคูณ
1. เมื่อลากเส้นตามแนวทแยงมุมจากมุมบนซ้ายมายัง
มุมล่างขวา เส้นทแยงมุมนี้เปรียบเสมือนเส้นสะท้อนตำ�แหน่ง
ของจำ�นวนที่อยู่ทางด้านซ้ายและด้านขวาของเส้นทแยงมุมใน
ตำ�แหน่งที่ตรงกันซึ่งเป็นจำ�นวนที่เท่ากัน เนื่องจากการคูณมี
สมบัติการสลับที่ และพบว่าเส้นทแยงมุมนี้ลากผ่านตำ �แหน่ง
ของจำ�นวนกำ�ลังสอง ได้แก่ 1, 4, 9, … , 100
2. พิจารณาจำ�นวนในแถวบนสุด เช่น เมื่อนำ� 2 บวก
กับ 3, 2 + 3 = 5 ในสดมภ์เดียวกันของ 2, 3, 5 จะเห็นว่า
4 + 6 = 10, 6 + 9 = 15, 8 + 12 = 20, 10 + 15 = 25, … ,
20 + 30 = 50 ลองคิดว่าสามารถนำ�สมบัติใดทางคณิตศาสตร์
มาอธิบายว่าเป็นจริงเสมอ
พิจารณา 4 + 6 = 10 คือ 2(2 + 3) = 2(5),
6 + 9 = 3(2 + 3) = 3(5), 8 + 12 = 4(2 + 3) = 4(5)
จะเห็นว่ามีความเชื่อมโยงกับสมบัติการแจกแจงนั่นเอง
แนวคิดนี้สามารถขยายเป็นการบวกจำ �นวนหลาย ๆ จำ�นวนได้
เช่น การหาผลบวกของ 6 + 9 + 12 ซึ่งอยู่ในแถวที่ 3 และ
สดมภ์ที่ 2, 3, 4 ตามลำ�ดับ จะเห็นว่า 2 + 3 + 4 = 9 ดูแถว
ที่ 3 สดมภ์ที่ 9 ตรงกับ 27 ซึ่งเป็นผลบวกของ 6 + 9 + 12
มองอีกแง่มุมหนึ่ง การหาผลคูณ 3(2 + 3 + 4) สามารถหาได้
จากผลบวกของจำ�นวนในแถวที่ 3 สดมภ์ที่ 2, 3, 4 เพราะว่า
3(2 + 3 + 4) = 6 + 9 + 12
ถ้าต้องการหาผลบวกของ 18 + 24 + 30 + 36 ซึ่งอยู่ในแถวที่
6 สดมภ์ที่ 3, 4, 5, 6 มีวิธีง่าย ๆ คือ นำ� 6 คูณกับผลบวก 3 + 4 + 5
+ 6 จะได้ 6 × 18 = 108 เป็นการอาศัยสมบัติการแจกแจงนั่นเอง
ถ้าต้องการหาผลบวกของจำ�นวน 12 จำ�นวนที่อยู่เรียงกันเป็น
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ได้แก่จำ�นวนในแถวที่ 2, 3, 4, 5 และสดมภ์
ที่ 7, 8, 9 จะเห็นว่าสามารถหาได้จาก (2 + 3 + 4 + 5) คูณกับ
(7 + 8 + 9) โดยอาศัยสมบัติการแจกแจงเช่นเดียวกัน
X