21 / 62
10. ความสัมพันธ์ของผลบวกจากจำ
�นวนนับยกกำ
�ลังสอง
และ ผลบวกของจำ
�นวนนับยกกำ
�ลังสาม
พิจารณาผลบวกของจำ
�นวนที่ล้อมรอบด้วยรูปสี่เหลี่ยม
จัตุรัสที่เริ่มจาก 1, 4, 9, 16, … ,100 หรือ 1
2
, 2
2
, 3
2
, … , 10
2
จำ
�นวน ซึ่งต้องให้ครอบคลุมผลคูณจำ
�นวนแรก คือ 1 เสมอ ใน
อีกแง่มุมหนึ่ง โดยพิจารณา ผลบวกของจำ
�นวนที่เป็นรูป ตัว L
ซึ่งเราทราบมาแล้วจากข้อ 7 ว่าผลบวกเป็นจำ
�นวนกำ
�ลังสาม
1
3
= 1
2
1
3
+ 2
3
= 3
2
1
3
+2
3
+3
3
= 6
2
1 ³ +2 ³ +3 ³ +4 ³ = 10 ²
21
ปีที่ 42 ฉบับที่ 188 พฤษภาคม - มิถุนายน 2557
ให้ a
1
= 1+2+2+4 = (1+2)+2(1+2) = (1+2)(1+2)
= (1+2)
2
= 3
2
a
2
= 4+6+6+9 = 2(2+3)+3(2+3) = (2+3)(2+3)
= (2+3)
2
= 5
2
a
3
= 9+12+12+16 = 3(3+4)+4(3+4)
= (3+4)
2
= 7
2
a
4
= 16+20+20+25 = 4(4+5)+5(4+5)
= (4+5)
2
= 9
2
จะได้ a
n
= (2n+1)
2
การสืบเสาะทำ
�นองเดียวกันนี้สามารถขยายไปสู่การหาผลบวก
ของจำ
�นวนในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 3×3 ตามแนวเส้นทแยง
มุมหลักซึ่งจะได้ว่า a
1
= 36 , a
2
= 81 , … , a
n
= (3n+3)
2
9. ผลบวกของจำ
�นวนในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
เมื่อเขียนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสล้อมจำ
�นวนเริ่มจาก 1, 4, 9,
16, … ,100 หรือ 1
2
, 2
2
, 3
2
, … , 10
2
จำ
�นวน โดยต้องให้
ครอบคลุมผลคูณจำ
�นวนแรก คือ 1 เสมอ ผลบวกของจำ
�นวนใน
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละรูปมีความน่าสนใจ จำ
�นวนในรูปสี่เหลี่ยม
จัตุรัสแรก คือ 1 หรือ 1
2
และต่อไปเป็นดังนี้
(1+2) + (2+4) = (1+2) + 2(1+2)
= (1+2)(1+2) = (1+2)
2
= 3
2
รูปทั่วไปของผลบวกนี้ คือ (1+2+3+ … + n)
2
=
ดังนั้น โดยอาศัยการให้เหตุผลแบบอุปนัยจะได้ว่า
1 ³ +2 ³ +3 ³ + … + n ³ = (1+2+3+ … +n) ²
บทสรุป
ตารางการคูณหรือสูตรคูณที่เราคุ้นเคย เมื่อพิจารณา
และคิดวิเคราะห์ให้ลึกซึ้งแล้วจะเห็นว่ามีความเชื่อมโยงกับ
คณิตศาสตร์หลายเรื่อง ตั้งแต่การดำ
�เนินการคณิตศาสตร์
พื้นฐาน การบวก ลบ คูณ หาร การยกกำ
�ลัง แบบรูป ลำ
�ดับ
อนุกรม การให้เหตุผลแบบอุปนัยในการสร้างข้อความคาดการณ์
ทางคณิตศาสตร์อย่างมีเหตุผล และสามารถขยายไปสู่การพิสูจน์
ว่าข้อความคาดการณ์นั้นเป็นจริงซึ่งเป็นการให้เหตุผลแบบ
นิรนัย สำ
�หรับการศึกษาคณิตศาสตร์ในระดับสูงต่อไป
“
นำ
�สูตรคูณมารวมไว้ในตาราง
เปิดแนวทางชวนวิเคราะห์สืบเสาะหา
พบแบบรูปของจำ
�นวนล้วนต้องตา
ชวนศึกษาสร้างสรุปด้วยอุปนัย
สูตรคูณเป็นพื้นฐานเหมือนงานเล็ก
คุณเอนกทรงพลังสร้างงานใหญ่
เป็นขุมทองเพิ่มมุมมองคิดกว้างไกล
สร้างสิ่งใหม่เพิ่มคุณค่าน่ารู้เอย
”
ผลบวกอยู่ในรูปจำ
�นวนคี่ยกกำ
�ลังสอง
(1+2+3)+(2+4+6)+(3+6+9)
= (1+2+3)+2(1+2+3)+3( 1+2+3)
= (1+2+3)(1+2+3)=(1+2+3)
2
=6
2
(1+2+3+4)+(2+4+6+8)+
(3+6+9+12)+(4+8+12+16)
= (1+2+3+4)+2(1+2+3+4)+
3(1+2+3+4)+4(1+2+3+4)
= (1+2+3+4) (1+2+3+4)
= (1+2+3+4)
2
= 10
2