21 / 62
21
ปีที่ 44 ฉบับที่ 201 กรกฎาคม - สิงหาคม 2559
คุณลักษณะแบบใดที่เรียกว่ามีจิตนิสัยทางคณิตศาสตร์
Cuoco, Goldenberg, and Mark (1996) ได้เสนอลักษณะเฉพาะของผู้ที่มีจิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ ไว้ 9 ประการ ได้แก่
1.
สามารถเข้าใจกรณีทั่วไปได้โดยใช้กรณีตัวอย่างหลายกรณี
โดยการน�ำหลักการใหญ่ที่มักเป็นนามธรรม
เพื่อให้เห็นภาพและเข้าใจด้วยตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม
2.
คิดพิจารณาจากจุดเล็กๆ เพื่อน�ำไปสู่หลักการที่ยิ่งใหญ่
มีบ่อยครั้งที่ความรู้ทางคณิตศาสตร์ได้แตกสาขา
การพัฒนาขึ้นมาใหม่จากการพยายามจะแก้ปัญหาธรรมดาๆ ตัวอย่างเช่น จงหาผลคูณของจ�ำนวนที่เกิดจากผลรวมของ
จ�ำนวนก�ำลังสอง (square number) ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมของจ�ำนวนก�ำลังสองที่แตกต่างจากจ�ำนวนเดิม
Tall ได้กล่าวถึงตัวอย่างความทรงพลังของการมี
จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์ไว้ดังนี้
เด็กคนหนึ่งหาค�ำตอบของ 8+6 ด้วยการเปลี่ยนให้
อยู่ในรูป 8+2+ 4 = 10+4 โดยแยก 6 เป็น 2+4 เพื่อที่จะได้
น�ำ 2 ไปรวมกับ 8 ให้ครบ 10 แล้วเพิ่ม 4 เป็น 14
หรือกรณีการอภิปรายเรื่องขั้นตอนการหารด้วย 7
เด็กคนหนึ่งอาจไม่ได้คิดถึงขั้นตอนการหาร แต่กลับนึกไปถึง
จ�ำนวนที่เกี่ยวข้องกัน เช่นเมื่อเพื่อนถามเขาว่า 121 หารด้วย
7 ลงตัวหรือไม่ เขาตอบได้ทันทีว่า “ไม่” เพราะ 121 คือ 11
2
นั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นในห้วงความคิดของเขาไม่เพียงแต่เป็นการ
จะแยกตัวประกอบเท่านั้น หากมองลึกลงไปถึงการแยกเป็น
ตัวประกอบที่ซ�้ำจ�ำนวนเดียวกันด้วย ส�ำหรับการหาร 131
ด้วย 7 เขาได้ตอบว่า “หารไม่ลงตัว” เพราะ 131 คือ 140
หักออกเสีย 9 แต่เขาจนมุมที่จ�ำนวน 119 ซึ่งเขาไม่สามารถ
คิดด้วยวิธีอื่นใดได้นอกจากคิดตามขั้นตอนการหารด้วย 7
เช่น 13 = 3
2
+ 2
2
และ 5 = 2
2
+ 1
2
(ทั้ง 13 และ 5 ต่างเกิดจากผลบวกของจ�ำนวนก�ำลังสอง)
จะได้ว่า 65 = 13 X 5 = 16 + 49 = 4
2
+ 7
2
แสดงว่า 65 ซึ่งเกิดจาก 13 คูณกับ 5 ก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของจ�ำนวนก�ำลังสองได้ด้วย
ตามปกติจะได้ผลลัพธ์เป็น 17 อย่างไรก็ตาม จิตคณิตศาสตร์
ของเขาก็ยังไม่ยอมหยุดอยู่แค่นั้น เขายังมองเห็นความ
สัมพันธ์ใหม่ว่า 17 X 7 คือ 10X 7 รวมกับ 7X7 ซึ่งเท่ากับ 70
+ 49 = 119 หรือมันคือ 20 คูณ 7 แล้วหักออกด้วย 3 คูณ 7
ซึ่งเท่ากับ 140 – 21 = 119 วิธีคิดเหล่านี้ท�ำให้เขารู้สึกมีความสุข
ได้อีกค�ำรบหนึ่ง เพราะจิตคณิตศาสตร์ของเขาได้เพิ่มแบบรูป
ของความสัมพันธ์ใหม่ โดยใช้มโนทัศน์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นมาเอง
ส�ำหรับเลขจ�ำนวน 7
กระบวนการคิดเชิงจ�ำนวนข้างต้นมีความซับซ้อน
กว่าขั้นตอนการหาค�ำตอบธรรมดา เพราะมันสะท้อนให้เห็น
การมีโครงสร้างความรู้ที่สอดคล้องกับโครงสร้างทางสมอง
ในเรื่องความรู้สะสมและการเชื่อมโยงภายในโครงสร้างเหล่า
นั้น ตลอดจนวิธีการจัดการกับปัญหาต่างๆ ที่เกิดขึ้นในเวลา
เดียวกัน โดยมุ่งไปสนใจสิ่งที่ต้องการได้
จิตนิสัยทางคณิตศาสตร์นั้นมีความสำ�คัญอย่างไร
การที่เป็นเช่นนี้ก็เพราะหลักการทางเลขคณิตของจ�ำนวนเต็มเกาส์ (Gaussian integers)
ที่แสดงให้เห็นว่า
(a + bi)(a – bi) = a
2
+ b
2
เมื่อ I คือรากที่สองของ -1 ดังนั้น จากจ�ำนวนเต็ม 13 และ 5
เราสามารถเขียนได้ว่า
13 = (3 + 2i)(3 – 2i) และ 5 = (2 + i)(2 – i)
จึงได้ว่า 13 X 5 = (3 + 2i)(3 – 2i) X (2 + i)(2 – i)
= (3 + 2i) (2 + i) X (3 – 2i) (2 – i)
= (4 + 7i) X (4 – 7i)
= 16 + 49